Ii théorème de Bernoulli II démonstration de l’équation de Bernoulli. II sens énergétique de l’équation II applications du théorème au tube venturi III. Partie expérimentale








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UNIVERSITE DE M’HAMED BOUGARA DE BOUMERDES

FACULTE DES HYDROCARBURES ET DE LA CHIMIE

Département : Transport Et Equipement des Hydrocarbures

Mécanique des fluides

TP-1

Equation de Bernoulli

Par

Groupe : Transport des Hydrocarbures

Sous groupe : A

Sommaire

ӏ. Introduction

I.1. Daniel Bernoulli

I.2. Approche historique du Théorème de Bernoulli

II. Partie théorique

II.1. But du Travail Pratique

II.2. Théorème de Bernoulli

II.3. Démonstration de l’équation de Bernoulli.

II.4. Sens énergétique de l’équation

II.5. Applications du théorème au tube venturi

III. Partie expérimentale 

III.1. Les formules utilisées

III.2. Description du banc d’essai

III.3. Contenue didactique

III.4. Mode opératoire

III.5. Les tableaux récapitulatifs

III.6. Les courbes.

IV. Conclusion.

ӏ. Introduction

ӏ.1. Daniel Bernoulli :

Daniel Bernoulli (Groningue 9 février 1700 - Bâle 17 mars 1782) est un médecin, physicien et mathématicien suisse. C'est le fils de Jean Bernoulli et le neveu de Jacques Bernoulli.

Biographie et travaux :

Il cultiva à la fois les sciences mathématiques et les sciences naturelles, enseigna les mathématiques, l'anatomie, la botanique et la physique. Ami de Leonhard Euler, il travaille avec lui dans plusieurs domaines des mathématiques et de la physique (il partagea avec lui dix fois le prix annuel de l'Académie des sciences de Paris), qu'il s'en fit une sorte de revenu. Les différents problèmes qu'il tente de résoudre (théorie de l'élasticité, mécanisme des marées) le conduisent à s'intéresser et développer des outils mathématiques tels que les équations différentielles ou les séries. Il collabore également avec Jean le Rond d'Alembert dans l'étude des cordes vibrantes. Il fut le premier à utiliser un symbole (A.S.) pour désigner la fonction arc sinus.

Il passe quelques années à Saint-Pétersbourg comme professeur de mathématiques mais l'essentiel de sa carrière se déroule à l'université de Bâle où il enseigne successivement l'astronomie, la médecine et la philosophie. Il fut comme son père, membre des Académies de Paris, de Berlin, de Londres et de Saint-Pétersbourg.http://st-listas.20minutos.es/images/2010-12/264384/2773120_640px.jpg?1293036261

Il publie en 1738 :

        • Son ouvrage  Hydrodynamica  (Strasbourg, 1738, in-4) dans lequel il expose le théorème fondamental de la mécanique des fluides qui porte son nom : le théorème de Bernoulli.


Figure.1. Daniel Bernoulli (wikipedia).
Et aussi un essai de «Théorie sur la mesure du risque», dans lequel il énonce le Paradoxe de Saint-Pétersbourg - considéré aujourd'hui par certains économistes de la finance comme fondateur des bases de la théorie économique et financière.

ӏ.2. Approche historique du théorème de Bernoulli :

La première formulation du théorème de Bernoulli apparaît dans Hydrodynamica - De viribus et motibus fluidorum commentarii de Daniel Bernoulli (première édition en 1738). Pour d'Alembert, ce texte est l'œuvre fondatrice de l'hydrodynamique en tant que discipline physique moderne.

Il est alors formulé comme un bilan macroscopique global et une méthode de calcul, dans le cadre de la résolution d'un problème technique : la détermination de la durée de vidange des vases munis d'un orifice.

La justification réside dans l'égalité de la montée potentielle et de la descente actuelle. Il s'agit d'une transposition aux fluides de la conservation des forces vives, déjà connue en mécanique, et qui est en fait l'ancêtre du principe de conservation de l'énergie dans le domaine de la physique classique.

C'est seulement en 1755, avec les travaux d'Euler, que le théorème apparaît sous la forme d'un bilan local plus proche des formulations contemporaines.

II. Partie théorique

II.1. But de travail

1-Construire la ligne piézométrique et la ligne de charge

2-Déterminer les pertes de charge entre les sections

II.2. Théorème de Bernoulli

II.2.1 Enoncé

Pour l’écoulement d’un fluide parfait, le théorème de Bernoulli résulte de la conservation de l' énergie. L’écoulement est supposé permanent, isentropique et incompressible. Considérons à un instant donné une portion de tube de courant ABCD. Soient P1 et V1 la pression et la vitesse du liquide dans la section AB de surface S1 et de cote moyenne z1. Soient P2 et V2 la pression et la vitesse du liquide dans la section CD de surface S2 et de cote moyenne z2. Les altitudes sont repérées par rapport à un plan de référence, horizontal.


Figure 2. Ecoulement d’un fluide dans un tube de courant.

ll a été montré par Daniel BERNOULLI en 1738 que, le long de sa trajectoire, une particule fluide conserve la quantité :

(Équation en pression)

C’est le théorème de Bernoulli, qui peut encore s’écrire sous la forme :

(Équation en hauteur de liquide)

Remarque : en régime permanent, on peut écrire que les deux quantités précédentes se conservent le long de toutes les lignes de courant.

II.2.2 Equation en pression

Les différents termes de cette équation ont la dimension d'une pression et sont :

  • P : pression hydromécanique ou simplement pression,

  • gz : pression de pesanteur,

  • : pression dynamique ou surpression d’arrêt.

Il faut noter que la seule pression qui existe réellement dans un courant, c'est-à-dire la contrainte créé par la force superficielle normale est la pression P.

II.2.3 Equation en hauteur de liquide

Les termes de cette équation ont la dimension d'une hauteur de colonne de liquide et sont appelés :

  • : Hauteur piézométrique,

  • Z : Cote ou hauteur de position,

  • : Hauteur dynamique ou hauteur due à la vitesse.

En régime permanent, pour un liquide parfait en mouvement, la somme des trois hauteurs : la hauteur de position, la hauteur piézométrique et la hauteur dynamique est constante le long d’un tube de courant et s’appelle la hauteur totale H dite hauteur de charge ou hauteur du plan de charge.

II.2.4 Représentation graphique de l'écoulement.



Figure.3. représentation graphique de l’écoulement.

La représentation graphique de l' écoulement est schématisée sur la figure ci-dessus où les trois hauteurs citées sont portées le long d'un tube de courant. La hauteur de position sépare le plan de référence au centre G de la section S du tube. La ligne obtenue en portant verticalement, à partir de G, une distance égale à P/(ρg), s'appelle la ligne piézométrique; elle peut être considérée comme le lieu géométrique des niveaux de liquide dans des piézomètres installés le long du tube de courant. En portant verticalement au-dessus de la ligne piézométrique une distance égale à, on obtient la ligne de charge qui, dans le cas d'un liquide parfait est horizontale. Dans le cas où la section de la canalisation est constante, le plan de référence, la ligne piézométrique et la ligne de charge sont parallèles. En effet, la section de la veine fluide étant constante, la vitesse est constante et par suite le terme l’est également.

II.3. Démonstration de l’équation de Bernoulli.

Dans cette partie, on exposera la démonstration de l’équation de Bernoulli a partir de l’équation de mouvement sous contrainte et de la conservation d’énergie, tel qu’exposée dans le cours de notre enseignant de mécanique de fluide et rhéologie Monsieur Zeraibi.

II.3.1 Démonstration à partir de l’équation de mouvement sous contraintes :

Soit l’équation de mouvement sous contraintes :







Pour un fluide parfait, ou la viscosité est nulle, on a les contraintes tangentielles qui sont nulles, l’équation se réduit à :







Qui équivaut à l’équation d’EULER :







En divisant sur ρ :







Traitant la première équation [1], ensuite on généralise. En ajoutant et en soustrayant les deux termes ( ; ) a la partie gauche on a :













En généralisant, on obtient l’équation de LAMB:







Ou :



On remplaçant dans l’équation [1], on a :

=

Avec, F = grad Dérivant d’un potentiel, on a, grad = +  , donc:







L’équation générale s’écrit :



Pour un écoulement irrotationnel :



V = grad l’équation devient :



Cette équation s’appelle l’intégrale d’Euler.

Dans le cas d’un régime stationnaire = 0 donc :





Avec on a :

(L’équation de Bernoulli)

II.3.2 Démonstration à partir de la conservation d’énergie :

… [2]

Avec



En utilisant la dérivée particulaire on a :



Et :



Donc :





On remplace dans l’équation [2] :



En réarrangeant les intégrales de même type, on aboutit a :



Pour un régime stationnaire, l’équation ci-dessus devient :



Avec : l’enthalpie h = u +, l’équation peut s’écrire :

…………………..................................................... [2]

Intégrant cette équation entre deux sections quelconques d’une conduite traversées par un fluide incompressible et isotherme.



Figure.5 : Conduite a sections quelconques.

Avec coefficient de correction de l’énergie cinétique donné par :

α =

On a :

  • + = 0 ……………….… [3]

Par conservation de masse on a : ρ = ρ

Et puisque le fluide est supposé isotherme : u = = 0, donc h =

L’équation [3] devient :



(Equation de Bernoulli)

Iӏ.3.3 Démonstration de l’équation de Bernoulli pour un fluide réel.

Dans cette partie, on va aborder la démonstration de l’équation de Bernoulli pour un fluide réel et pour un écoulement non stationnaire. Pour ce faire, prenant un tronçon de conduite et illustrons les différentes forces et contraintes appliquées (voir figure ci-dessous).



Figure.6. illustration des différentes forces et contraintes appliquée a un fluide.







Avec :

ds, dl : élément de surface et de longueur respectivement,

P : la pression,

G : le poids,

.



Donc :















L’équation devient :



a : charge hydraulique au point 1,

b : charge hydraulique au point 2,

c : hauteur d’inertie, nulle en régime permanent,

d : pertes de charges réparties où linéaires.

Pour notre travail pratique on omet le terme « c » car on travail en régime stationnaire et on désigne le terme « d » par Δ. L’équation devient donc :



II.4. Sens énergétique de l'équation de Bernoulli

Appelons énergie spécifique d'un liquide, son énergie mécanique rapportée à l’unité de poids :



Chaque terme de l’équation de BERNOULLI exprime une des formes possibles de l’énergie spécifique d’un liquide :

  • Z est l’énergie spécifique de position : une particule liquide de masse ρ à une hauteur z par rapport au plan de référence, possède une énergie de position (ρgz) ce qui, rapporté à l’unité de poids donne .

  • est l'énergie spécifique de pression. Une particule de liquide de masse unité à la pression P est capable de s’élever d’une hauteur et donc d’acquérir une énergie de position

  • Z+ est l’énergie potentielle spécifique du liquide.

  • est l' énergie cinétique spécifique du liquide ramenée à l’unité de poids de ce dernier.

H= Z+ + est l’énergie spécifique totale du liquide en mouvement.

L’équation de Bernoulli exprime le principe de la conservation de l’énergie mécanique dans un liquide parfait. Au cours du déplacement, une des formes d'énergie peut se transformer en une autre; cette transformation doit s'effectuer de telle façon que l'énergie spécifique totale reste constante.

L’énergie de position et l’énergie cinétique sont propres aux corps solides et liquides. Pour ce qui est de l’énergie de pression, cette forme d'énergie n'est propre qu'aux liquides.

II.5. Applications du théorème au tube venturi

Le tube de Venturi réalisé en plexiglas est alimenté à partir du banc hydraulique tout le long du convergeant et du divergeant, onze prises statiques permettent de mesurer les hauteurs d’eau, le débit est réglé au moyen de la vanne W (voir figure 1).



Figure.4. Tube de venturi.

Si on écrit l’équation de Bernoulli entre la section 1 et i, avec = on à :



III. Partie expérimentale :

III.1. Les formules utilisées

La formule principale utilisée dans ce Travail pratique est l’équation de Bernoulli pour un fluide réel, en supposant que le coefficient de correction de l’énergie cinétique α est égal à l’unité 1 :



f:\rotamètre.jpg

Figure7 : Exemples de trois rotamètres.

Calcul de la pression :

Les piézomètres donnes des hauteurs d’eau qui expriment la valeur de la pression régnant au point de mesure de la conduite sujette a l’expérience, la pression est donnée par :

=

Calcul de la vitesse :

La vitesse moyenne du fluide traversant une section est donnée par :



Mesure du débit :

Pour cela, on utilise un rotamètre à section variable, le rotamètre affiche une hauteur. Cette hauteur en centimètre est extrapolée sur une courbe d’étalonnage préétablie, où on lit la valeur du débit correspondant en (l/s).

Remarque :

Les hauteurs des sections sont constantes, .

III.2. Description du banc d’essai

Le banc de dynamique des fluides permet la mesure des pressions et vitesses au sein d’un fluide au repos ou en mouvement, la recherche de ces paramètres en des points spécifiques d’un fluide fait appel aux équations fondamentales de la mécanique des fluides c'est-à-dire l’équation de Bernoulli et l’équation de continuité.

Le schéma ci-dessous représente le circuit hydraulique, sur lequel l’expérience sera faite :



Figure.8. Banc Bernoulli.

Le banc fonctionne en circuit fermé : une pompe et un réservoir de stockage assurent l’alimentation en fluide (eau normale).

Onze prises de pressions sont reliées par des tuyaux souples à des piézomètres rassemblé sur un tableau de mesure permettent de mesurer la pression en différents points du circuit (voir figure -1-).

III.3. Contenue didactique

L’unité comprend essentiellement :

  • Un tableau gradué pour la mesure de la hauteur du liquide dans les piézomètres.

  • Onze piézomètres en plexiglas

  • Onze tuyaux souples

  • Une valve pour libérer l’aire de la partie supérieure

  • Une vanne pour le contrôle du circuit

  • Un tube de venturi en plexiglas

  • Deux conduites pour alimenter le circuit

  • Une pompe

  • Un réservoir

  • Un rotamètre pour la mesure du débit.

III.4. Mode opératoire

  • A l’aide de robinet, obtenir un mouvement permanent de l’eau s’écoulant dans le tube à étudier,

  • Mesurer les hauteurs piézométriques pour chaque section considérées de (A-A jusqu’à L-L) à l’aide des piézomètres,

  • Mesurer le débit d’eau Q au moyen du rotamètre et la courbe d’étalonnage. La hauteur du flotteur conique est d’abord repérée, puis on utilise la courbe d’étalonnage pour déduire le débit correspondant en (l/s).

  • Calculer la vitesse moyenne V d’écoulement du liquide dans les sections considérées.



  • Calculer la hauteur dynamique pour les sections considérées.



  • Calculer les hauteurs totales dans chaque section.



  • Calculer les pertes de charge () entre les sections A-A et i-i.

  • Construire la ligne piézométrique et la ligne de charge sur un papier millimétré.

  • Reporter les résultats de mesures et des calculs dans le tableau1.

  • Prendre g =9,81

III.5.Les calculs :

  • La lecture des hauteurs piézométriques (voir le tableau),

  • La lecture du rotamètre donne une valeur de 10 cm, extrapolée sur le graphe donne la valeur de Q= 0,24 l/s,

  • Calcul des vitesses moyennes Vi,

  • Calcul des hauteurs dynamique hdi,

  • Et enfin le calcul de la hauteur total Hi et des pertes de charges ΔHi.

III.6. Les tableaux récapitulatifs

N°S



(10-3 m)

Si

(10-6 m²)

Q

(10-3 m3/s)

(m/s)



(m)

(m)



(m)



(m)

Obs.

A

26

530,9

0,24

0,4521

0,164

0,01041

0,17441

0




B

23,2

422,7

0,24

0,5678

0,157

0,01643

0,17343

0.00098




C

14,4

162,8

0,24

1,4742

0,134

0,11077

0,24477

-0,07036




D

16

201,1

0,24

1,1934

0,098

0,07259

0,17059

0,00382




E

16,8

221,7

0,24

1,0825

0,100

0,05972

0,15972

0,01469




F

18,5

267,9

0,24

0,8958

0,108

0,04090

0,14890

0,02551




G

20,8

341,1

0,24

0,7036

0,129

0,02523

0,15423

0,02018




H

21,8

374,6

0,24

0,6407

0,135

0,02092

0,15592

0,01849




J

23,5

434,8

0,24

0,5520

0,138

0,01553

0,15353

0,02088




K

25,2

500,3

0,24

0,4798

0,140

0,01173

0,15173

0,02268




L

26

530,9

0,24

0,4520

0,142

0,01041

0,15241

0,022




III.7. Ligne de charge et ligne piézométrique :

Ces lignes sont tracées sur des feuilles en papier millimétré joint avec le TP.

IV. Conclusion

Après L’observation des résultats obtenus, on peut dire que la pression est inversement proportionnelle avec la vitesse ce qui se déduit facilement de l’équation de Bernoulli.

Et les pertes de charges varient non seulement avec la longueur mais aussi avec la vitesse, ce qui est manifestement évident dans les formules des pertes de charges réparties, et locales :

Pertes de charges réparties :



Pertes de charges locales :



La perte de charge totale a été évalué a 0,022 m de hauteur d’eau c'est-à-dire une = 46,05 Pa, cette perte de charge est faible.

Remarque Importante :

En raison de la défaillance du matériel utilisé, les valeurs des hauteurs dynamiques ont été plus au moins faussées, ce qui a engendré une erreur lors de la représentation graphique, cette erreur a été rétablie en ajustant le graphe.


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