Filière : Physique-chimie crmef –Fès- 2012-2013








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date de publication18.10.2016
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Filière : Physique-chimie CRMEF –Fès- 2012-2013

Mouvement d’un projectile dans un champ de pesanteur uniforme
Objectifs :

  • Savoir appliquer la 2ème loi de Newton.

  • Etablir l’équation de la trajectoire d’un projectile dans un champ de pesanteur.

  • Visualiser la trajectoire d’un projectile dans le champ de pesanteur terrestre. Comparer les résultats des mesures réalisées à partir d’un enregistrement vidéo du mouvement avec les paramètres déterminés par étude théorique.

  • Modéliser une trajectoire et les vecteurs-vitesse et accélération au cours du mouvement.


Matériel

  • Balle de tennis

  • Règle et niveau

  • Webcam et logiciels AVIMECA2, REGRESSI

  • Logiciel de simulation numérique Maple


I- Etude théorique

On étudie le lancer d’un projectile, de masse m et de centre d’inertie G avec une vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme (lancer au voisinage de la terre).

1- Appliquer la 2 éme loi de Newton à la balle dans le champ de pesanteur terrestre uniforme en supposant que la poussée d’Archimède et les forces de frottement sont négligeables par rapport au poids.

2- Montrer que le mouvement est plan et que l’on obtient pour :


  • le vecteur-accélération



  • Le vecteur- vitesse





  • Le vecteur- position


3- Etablir l’équation y = f(x) de la trajectoire à partir des équations horaires paramétriques.

4- La flèche de la trajectoire est l’altitude maximale atteinte par rapport au point de lancement. Elle correspond donc ici à z(tF). montrer que :

5- La portée est la distance entre le point de lancement O et le point d’impact P sur le plan horizontal contenant O. Elle correspond donc ici à xP. montrer que :



6-Calculer toutes les valeurs numériques (des questions 2, 3, 4 et 5) pour la valeur de V0=6,07m.s-1 et de α=68,03° à fin de les comparer à celles obtenues par modélisation.

II. Etude Expérimentale

II.1. Etude via les logiciels AVIMECA2, REGRESSI

II.1.1 Pointage vidéo

A l’aide d’une webcam , réaliser l’enregistrement d’une balle de tennis lancée obliquement. On dispose alors d’un fichier vidéo numérique au format avi et on exploite cet enregistrement avec le logiciel Aviméca, A défaut, on utilisera une vidéo déjà prête.

  • Lancer Aviméca. Puis faire Fichier, Ouvrir… Aller chercher le fichier .avi désiré

  • Agrandir l’image en cliquant sur Adapter

  • Aller dans l’onglet Etalonnage

- cliquer sur l’onglet Etalonnage, sélectionner un système d’axe,

- Choisir échelles identiques : entrer une distance connue entre deux points donnés.

  • Aller dans l’onglet Mesure

- pointer les positions successives de la balle.

  • Une fois le pointage achevé, lancer Régressi depuis Aviméca

II.1.2. Modélisations

II.1.2.a. Equations horaires paramétriques

1- Tracer x(t). Quelle est l’allure de la courbe ? Relever le modèle proposé par le logiciel (type et valeurs numériques). A quoi correspond le coefficient directeur de la fonction linéaire x(t) ?

2- Tracer y(t). Quelle est l’allure de la courbe ? Relever le modèle proposé par le logiciel (type et valeurs numériques).

II.1.2.b. Coordonnées du vecteur-vitesse

1- Tracer vx(t). Quelle est l’allure de la courbe ? Relever le modèle proposé par le logiciel (type et valeurs numériques). Comparer la valeur au coefficient directeur de la fonction x(t). Que vaut l’accélération suivant l’horizontale ? Qualifier le mouvement suivant l’horizontale.

2- Tracer vy(t). Quelle est l’allure de la courbe ? Relever le modèle proposé par le logiciel (type et valeurs numériques). A quoi correspond le coefficient directeur de la fonction linéaire vy(t) ? Quelle valeur devrait-on retrouver ? Qualifier le mouvement suivant la verticale.

3- A quelle date a-t-on vy = 0 m.s-1 ? Comparer le sens des vecteurs et (en fait, il suffit de comparer ici les signes de ay et vy) et en déduire la nature du mouvement avant et après cette date.

II.1.2.c. Equation de la trajectoire

1- Tracer y(x). Quelle est l’allure de la courbe ? Relever le modèle proposé par le logiciel (type et valeurs numériques).

2- A l’aide du curseur réticule relever sur la trajectoire modélisée la valeur de ymax (correspondant à la flèche), et celle de xmax (correspondant à la portée).
II.2. Etude via Logiciel de simulation numérique Maple.

  1. Déclarer tous les paramètres du problème comme des variables globales.

  2. Déclarer trois variables eqx, eqy et eqz et leur affecter respectivement les équations du mouvement selon ,,.

3- Déclarer les conditions initiales CIx, CIy et CIz associées aux équations précédentes.

4- Résoudre les équations différentielles du mouvement et extraire les expressions de x(t), y(t) et z(t).

5- Transformer les expressions x, y et z en fonction afin de pouvoir les manipuler

6- Affecter des valeurs numériques aux paramètres du problème

7- Déterminer via Maple l’instant tF d’impact du projectile sur le sol.Faire calculer alors la portée xP du tir.

8- Tracer la trajectoire z = f(x) entre la position initiale et le point d’impact.se fait avec la commande odeplot et se charge via l’instruction with(plots).

9-déclarer plusieurs valeurs d’angle de tir. Observer son influence sur la portée et la flèche.

Correction

I- Etude théorique

On étudie le lancer d’un projectile, de masse m et de centre d’inertie G avec une vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme (lancer au voisinage de la terre).

I.1- Quelles sont les équations horaires du mouvement ?

  • Système d’étude :(Projectile)

  • Référentiel d’étude : Toujours définir rigoureusement le référentiel dans lequel sera effectué l’étude. Prendre garde à ne pas changer implicitement de référentiel durant l’étude. Le référentiel est terrestre supposé galiléen.

  • Bilan des forces s’exerçant sur le système :

- poids du projectile.

- poussée d’Archimède  .

- les forces de frottements de l’air (frottement fluide) : proportionnelle à la vitesse du projectile.
Choisir une base de travail et projeter les forces sur les vecteurs de cette base : ici la base cartésienne (,,).

On supposera qu’on peut négliger (la masse volumique de l’air est très faible devant celle du projectile), et (la vitesse initiale du projectile et la distance parcourue suffisamment faibles) devant On pourra donc considérer que le mouvement du projectile est un mouvement de chute libre dans un champ de pesanteur uniforme.

L’axe vertical Oz est ascendant !

À l’instant initial t = 0 s on a :

  • x(0) = y (0) = z (0) = 0

  • le vecteur vitesse est c

  • l’angle de tir est noté α (par rapport à l’axe horizontal Ox)


I.1.1- Coordonnées du vecteur accélération

D’après la deuxième loi de Newton on a : soit d’où

⇒ Le vecteur accélération aura la même direction, le même sens et la même valeur que le vecteur champ de pesanteur !
En projetant cette relation selon les trois axes du repère on obtient les coordonnées du vecteur accélération :



I.1.2- Coordonnées du vecteur vitesse

Les coordonnées du vecteur vitesse du centre d’inertie du projectile en intégrant les coordonnées du vecteur accélération on obtient alors :


D’après les conditions initiales :




L’expression du vecteur vitesse est donc :





  • la composante horizontale du vecteur vitesse est constante et vaut

  • la composante verticale du vecteur vitesse est une fonction affine décroissante du temps.


I.1.3- Équations horaires du mouvement

Les coordonnées du vecteur position du centre d’inertie du projectile en intégrant les coordonnées du vecteur vitesse on obtient alors les équations horaires du mouvement :




D’après les conditions initiales :



L’expression du vecteur position (= équations horaires du mouvement) est donc :



  • Les coordonnées du vecteur position ( = équations horaires du mouvement) nous montrent que le mouvement du projectile est plan, la trajectoire est contenue dans le plan xOz.

  • La fonction x(t) est une fonction linéaire de coefficient directeur :

  • La fonction z(t) est une parabole.


I.2- Quelle est la trajectoire du centre d’inertie du projectile ?

I.2.1- Equation de la trajectoire

À l’aide des équations horaires on peut déterminer l’équation de la trajectoire z = f (x).

  • D’après l’équation on trouve

On remplaçant t dans l’équation horaire de z(t) on obtient :




Donc l’équation de trajectoire du projectile est donné par :





  • L’équation de la trajectoire est celle d’une parabole (dont la concavité est vers le bas).

  • L’équation de la trajectoire dépend des conditions initiales V0 et α !


I.2.2- Notions de flèche et de portée

  • La flèche correspond à la hauteur maximale que peut atteindre le projectile, on la note F. elle correspond au sommet de la parabole z(x).

Lorsque le projectile atteint la flèche alors la composante verticale de la vitesse en ce point est nulle donc Vz(F) = 0 m·s−1.










Soit l’instant tF où le projectile est à sa hauteur maximale est :

et donc la hauteur maximale zF (flèche) aura pour expression :



ce qui donne après simplification :



  • La portée correspond à la distance maximale que peut atteindre le projectile, on la note P.

C’est le point d’intersection du projectile avec l’axe horizontal Ox qui correspond souvent au sol.

Lorsque le projectile atteint le point P alors z(xp ) = 0.


Les deux solutions analytiques sont :

  • XP=0 mais cela n’a aucun intérêt physique !!!

  • ce qui donne par simplification :



I.2.3- Influence des paramètres initiaux (V0 et α) sur la trajectoire du projectile

I.2.3.a- Influence de l’angle de tir sur la trajectoire du projectile

Pour une même valeur de vitesse initiale V0, l’angle de tir α a une importance sur la flèche et la portée.

La portée sera maximale lorsque l’angle de tir est α = 45°, car cos(2α)=1 et donc


I.2.3.a- Influence de la vitesse initiale sur la trajectoire du projectile

Pour une même direction (même angle de tir), plus v0 est grand, plus la flèche et la portée seront importantes.

Attention, dans ce cas on ne pourra plus négliger les frottements de l’air.


  • Etude avec Logiciels REGRESSI, AVIMECA2

II.4. Modélisations

II.4.1.Equations horaires paramétriques

1- La courbe x=f(t) :

c:\documents and settings\laptop\bureau\avimeca projet\x en fontion de t.bmp


  • La fonction x(t) est une fonction linéaire

  • Le modèle proposé par le logiciel : x= 2,27*t

  • Le coefficient directeur de la fonction linéaire x(t) correspond à la vitesse initiale VOX.

V0x = V0 cos(α)

2- La courbe y=f(t) :



  • On observe que la trajectoire est curviligne, le mouvement étant ralenti puis accéléré.

  • Le modèle proposé par le logiciel : y(t)= a+ b*t + c* t^2 avec a=-0,00345 et b=5,63 et c=-5,09.

  • D’après le modèle théorique on a :



Donc -1/(2g) = - 5,09 et V0* sin(α)=5,63

Donc g= 10,18 et d’après l’équation x=f(t) on a V0 cos(α)=2,27
Donc tan(α)= 2,48 alors α=68,03° donc V0=6,07m.s-1


II.4.2. Coordonnées du vecteur-vitesse

1- la courbe obtenue :




  • La vitesse a une valeur constante et l’accélération est nulle on a donc un mouvement rectiligne uniforme.

  • Le modèle proposé par le logiciel Vx=2,25 m/s.


2- on trace Vy(t) :




  • Le modèle proposé par le logiciel : Vy(t)= -10,1*t + 5,59

  • Le coefficient directeur de la fonction linéaireVy(t) correspond à l’accélération vertical. d’après le modèle théorique Vy(t)= -g*t + V0 *sin(α)

Donc g=10,1m/s^2. Et V0 sin(α)=5,59.

  • la composante verticale du vecteur vitesse est une fonction affine décroissante du temps.


3- Vy=0m/s à tc=550ms.

  • On comparer les signes de ay et v:

  • Vy positive entre 0 et tc car la bille monte. à partir de tc elle est négative car la bille descend.

  • ay(t) = = -10m.s-2 vecteur vertical dirigé vers le bas

donc Dans l'intervalle de temps [0; tC] le mouvement parabolique uniformément ralenti, et Dans l'intervalle de temps entre tc et la fin le mouvement est parabolique uniformément accéléré.

II.4.3. Equation de la trajectoire




  • On observe que la trajectoire est curviligne, le mouvement étant ralenti puis accéléré.

  • Le modèle proposé par le logiciel : z(x)= -0,95 x2 + 2.42 x + 0,019. C’est l’équation d’un parabole.

  • D’après le modèle théorique on a :



Donc : -0,95=-g/(2*(V0*cos(α))^2)) et tan(α)=2,42

  • La valeur de la pente est 2,42

  • la valeur de ymax (correspondant à la flèche) est 1,55m.

  • la valeur de x max (correspondant à la portée) est 2,55m.


Confrontation et validation

  • Comme nous ne connaissons pas les valeurs v0z et v0x de la vitesse initiale, nous avons tracé la courbe théorique en prenant des valeurs arbitraires. Bien évidemment, ces valeurs ne correspondent pas aux valeurs réelles donc les deux courbes, expérimentales et théoriques, ne se superposent pas.

  • Une fois les deux courbes z = f(x) tracées sur le même système d’axes, il reste donc à affiner les coordonnées de la vitesse initiale. En prenant la valeur de la vitesse initiale V0=6,07m.s-1 et angle de tir α=68,03°, nous observons que les deux courbes se superposent avec une grande précision.

Au final, si la prévision théorique correspond donc à l’observation expérimentale, on dit notre modèle est valide : l’hypothèse des frottements de l’air négligeables est donc vérifiée.


  • Etude avec Logiciel de simulation numérique Maple



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Réalisé par Mohammed ES-SADDIK  , Abdeslam CHTIOUI et Mohammed BOUCHAMA


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