A du centre d’inertie c du satellite. D’après la seconde loi de Newton, donc








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Terminale S Devoir n°3 de Sciences Physiques et Chimiques 28/11/2013

Obligatoire 3h30 – CALCULATRICE INTERDITE

Exercice 1 : (10 points) A PROPOS DE SATELLITES TERRESTRES.
Un satellite géostationnaire est un satellite artificiel qui se trouve sur une orbite géostationnaire. Sur cette orbite le satellite se déplace de manière exactement synchrone avec la planète et reste constamment au-dessus du même point de la surface. Cette caractéristique est très utile pour les télécommunications et certaines applications dans le domaine de l'observation de la planète.
La partie III est indépendante.


  1. Satellite SPOT 4




  1. Quel est le nom du référentiel dans lequel le mouvement du satellite est étudié ?

Référentiel géocentrique

Décrire la trajectoire d’un point de la surface de la Terre dans ce référentiel.

Dans le référentiel géocentrique un point de la surface de la Terre décrit une trajectoire circulaire autour de l’axe des pôles en 24 heures


  1. Exprimer vectoriellement la force exercée par la Terre sur le satellite en fonction des données de l’énoncé et du vecteur unitaire .




  1. Quelle propriété doit avoir le référentiel pour pouvoir appliquer la deuxième loi de Newton ?

Le référentiel géocentrique doit être galiléen pour que la deuxième loi de Newton puisse s’appliquer.


  1. On considérera dans la suite de l’exercice que le référentiel d’étude vérifie cette condition.

  1. Énoncer la deuxième loi de Newton appliquée au satellite.

Dans le référentiel géocentrique galiléen, la seconde loi de Newton s’écrit :

car la masse du satellite se conserve
Ainsi, on écrira que


  1. En déduire une représentation du vecteur accélération (sans souci d’échelle) sur le schéma de l’annexe 1, à rendre avec la copie.

N

O

C

S

Terre












  1. En déduire la valeur de l’accélération a du centre d’inertie C du satellite.

D’après la seconde loi de Newton,

donc
Ainsi, on écrira que


  1. En décomposant vecteur accélération dans une base de Frenet (C ; , ), montrer que son mouvement circulaire est uniforme. Donner l’expression de l’accélération a du centre d’inertie C du satellite en fonction de v, RT et h. Comment qualifier l’accélération du satellite ?


On décompose le vecteur accélération dans la base de Frenet :

(0,25) (1)
(0,25) Et (2)
Donc d’après les équations (1) et (2), on obtient :
Donc la vitesse v est constante et le mouvement du satellite est uniforme.
De plus, on obtient l’équation suivante : donc
L’accélération du satellite est donc centripète.


  1. Donner l’expression de la vitesse v, supposée constante, du centre d’inertie C du satellite en fonction de RT, h et T.

Pendant la durée T, le satellite parcourt le périmètre 2.(RT + h) à la vitesse constante :




  1. En déduire l’expression de l’accélération a du centre d’inertie C du satellite en fonction de RT, h et T.

Comme alors



  1. En identifiant les expressions de l’accélération obtenues aux questions 4.3 et 6, montrer que la masse MT de la Terre est donnée par la formule suivante : puis calculer sa valeur. (Pour cette seule question, le résultat sera exprimé avec un seul chiffre significatif).

D’après les questions précédentes :

donc

AN :

  1. Le satellite est-il géostationnaire ?

La période de révolution T du satellite est ≠ 24h donc le satellite n’est pas géostationnaire.

II. Étude du mouvement de la station spatiale ISS.


  1. Enoncer la troisième loi de Kepler et l’appliquer aux satellites SPOT 4 et à l’ISS.

La troisième loi de Kepler nous dit que le rapport du carré de la période de révolution d’un objet en orbite et du cube du demi-grand axe de cette orbite est une constante soit :



En considérant que les satellites SPOT 4 et l’ISS ont des orbites circulaires, la troisième loi de Kepler donnera :




  1. En déduire la valeur de la période de révolution TS de l’ISS.

D’après la relation précédente, on obtient :




  1. Montrer que l’altitude hS2 où devrait se trouver l’ISS pour qu’elle soit considérée comme géostationnaire est donnée par la relation suivante :

D’après la relation obtenue à la question 1), on obtient :



(




  1. Déterminer la vitesse vS de la station avec hS2 = 3,30 x 107 m.

Par définition :


  1. Combien de révolutions n autour de la Terre un astronaute présent à bord de la station spatiale internationale fait-il en 24h ?

Avec une période de révolution notée TS, l’ISS fera tours quotidiens.

III. Ravitaillement de la station ISS.
1. Modèle simplifié du décollage

Dans ce modèle simplifié, on suppose que le système {fusée + gaz} est isolé.

1.1. En comparant la quantité de mouvement du système considéré aux dates t = 0 s et
t = 1 s, montrer que :



Quelle est la conséquence de l’éjection de ces gaz sur le mouvement de la fusée ?

Le système S = {fusée + gaz} étant supposé isolé, la quantité de mouvement du système se conserve au cours du temps. Entre les dates t = 0 et t = 1 s, on aura donc :



Initialement le système est immobile (on considère que les gaz n’ont pas encore eu le temps d’être éjectés de la fusée) donc




Donc
Lors du décollage, les gaz sont éjectés vers le bas. La relation précédente montre que la fusée est alors propulsée vers le haut. Il s’agit d’un exemple de mode de propulsion par réaction.
1.2. Après avoir montré numériquement que la variation de la masse de la fusée est négligeable au bout d’une seconde après le décollage, calculer la valeur de la vitesse de la fusée à cet instant.

Le débit de gaz est noté D=3x103 kg.s-1 et on notera la variation de la masse de la fusée Δmf.

On aura la relation suivante : Δmf = D x Δt = 3x103 kg
Cette valeur calculée est très inférieure à la masse initiale de la fusée. La variation de la masse de la fusée au bout de 1s est donc négligeable. Ainsi, on considérera que la masse de la fusée reste inchangée et donc constante.
Pour calculer la vitesse de la fusée, on utilise la formule obtenue à la question précédente :


2. Étude plus réaliste du décollage

2.1. En réalité la vitesse vf est très inférieure à celle calculée à la question 1.2. . En supposant que le système {fusée + gaz} est isolé, quelle force n’aurait-on pas dû négliger ?

La vitesse de la fusée est en réalité inférieure à la vitesse réelle. Dans notre étude, il n’aurait pas fallu négliger l’impact de la force de frottement de l’air sur la fusée.
2.2. On considère désormais le système {fusée}. Il est soumis à son poids et à la force de poussée définie par où D est la masse de gaz éjecté par seconde.
2.2.1. Montrer que le produit (D.vg) est homogène à une force.

Cherchons l’unité du produit D.vg : D est en kg.s-1 et vg en m.s-1 donc D.vg est en kg.m.s-2
A partir de la force P=mg , on en déduit que N = kg.m.s-2 donc le produit D.vg  peut s’exprimer en newton et est bien homogène à une force.
2.2.2. Vérifier par une application numérique que la fusée peut effectivement décoller.

La fusée peut décoller si la valeur F de la force de poussée F =D× vg est supérieure à la valeur P du poids P de la fusée :

  • P = 8 x 105 x 10 = 8 x 106 N

  • F = 3 x 103 x 4 x 103 =1,2 x 107 N


On voit bien que F > P ; la fusée peut décoller.


Exercice 2 : (4 points) DES MOLECULES TEMOINS DU MURISSEMENT DES POMMES.
Lorsque des pommes mûrissent, leurs membranes cellulaires s’oxydent, engendrant la dégradation des acides gras à longues chaines qu’elles contiennent. Il en résulte la formation de deux molécules A et B représentées ci-dessous. Ces deux espèces chimiques, dont les concentrations augmentent lors du mûrissement des pommes, ont la propriété de masquer la saveur caractéristique du fruit non mûr.
Les molécules A et B présentent les formules semi-développées suivantes :



Identification des molécules A et B
1. Propriétés des molécules A et B.


    1. Entourer et donner le nom du groupe caractéristique présent dans les deux molécules.

Le groupe caractéristique présent dans ces molécules est le groupe ester



    1. Parmi les molécules A et B, l’une se nomme éthanoate de 3-méthylbutyle. Laquelle ? Justifier

La molécule A se nomme ainsi car la chaine principale de la molécule A contient 2 carbones ce qui explique le préfixe en eth.


    1. Préciser la formule brute des composés A et B. En déduire par quelle relation les molécules A et B sont liées.

La formule brute de ces deux molécules est C7H14O2. Ces molécules sont donc des isomères.

2. Séparation des molécules A, B1 et B2 par distillation fractionnée.
2.1. Annoter le schéma de distillation fractionnée en Annexe.

2.2. Rappeler le principe d’une distillation fractionnée et dire si une séparation est possible. Justifier sommairement.

La distillation fractionnée permet de séparer des espèces chimiques dont les températures d’ébullition sont différentes ; Ainsi, il sera possible de séparer les composants A et B.
3. Identification des molécules A et B à l’aide de la spectroscopie RMN du proton 1H.
3.1. Noter dans les tableaux donnés en Annexe, la multiplicité des hydrogènes proches des groupements – COO – des molécules A et B.
3.2. Associer alors les spectres 1 et 2 aux molécules A et B. A1 et B2
Singulet

Triplet

Sextuplet

Quadruplet

Thermomètre

Réfrigérant droit

Erlenmeyer

Mélange réactionnel + pierres ponces

Colonne de Vigreux

Ballon à fond rond

Chauffe-ballon

ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE




Montage de la distillation fractionnée :

Spectre RMN : à compléter




Exercice 3 : (6 points) LE SAUT DE LA GENOUILLE.
1. Exploitation de l’enregistrement.

1.1. Montrer que les valeurs v9 et v11 des vecteurs vitesse instantanée du centre d’inertie de la grenouille aux points G9 et G11 sont respectivement d’environ 1,45 m.s-1 et de 1,60 m.s-1 . Tracer sur la figure 9 (en annexe) les vecteurs et avec une échelle de 1 cm pour 0,5 m.s-1.

Par définition, et



1.2. Construire le vecteur = avec pour origine le point G10. Déterminer sa valeur en utilisant l’échelle précédente.

La longueur du vecteur Δ est de 0,80 cm donc avec l’échelle précédente, on trouve Δv = 0,8 x 0,5

= 0,4 m.s-1.

1.3. Montrer que la valeur a10 du vecteur accélération du centre d’inertie à l’instant t10 est environ égale à 10 m.s-2. Tracer sur la figure 9 le vecteur avec pour origine le point G10 (échelle 1 cm pour 5 m.s–2).

Par définition,
2. Étude dynamique du mouvement

2.1. Les actions mécaniques dues à l’air étant négligées, utiliser la deuxième loi de Newton pour déterminer les caractéristiques du vecteur accélération du centre d’inertie (G) de la grenouille au cours du saut ;

Pour faire l’étude mécanique du système, il faut au préalable définir :
- Système : grenouille de masse m
- Référentiel terrestre supposé galiléen
- Repère de l’étude : (O, , ) cartésien et orthonormé
- Forces extérieures au système : car les frottements de l’air sont négligés.

La seconde loi de Newton s’écrit alors :

car la masse de la grenouille se conserve

Donc et par conséquent,

Ainsi,

Le vecteur accélération a les caractéristiques suivantes :

Direction : verticale.

Sens : vers le centre de la terre.

Intensité : a = g = 10 m.s-2

2.2. Déterminer les équations horaires x(t) et y(t) du point G

Après intégration successives, on trouve, en tenant compte des conditions initiales :



2.3. En déduire l’équation de la trajectoire du centre d’inertie de la grenouille. Ce résultat est-il conforme à l’allure de la trajectoire de l’enregistrement expérimental ?

A partir de l’équation , nous allons exprimer t en fonction de x puis remplacer t par son expression dans la seconde expression. On obtient :



Cette équation est bien celle d’une parabole, ce qui est conforme avec l’enregistrement.

2.4. Quelles sont les caractéristiques du vecteur vitesse du point G au sommet S de la trajectoire ? En déduire l’expression littérale de la date tS à laquelle ce sommet est atteint. Calculer ensuite la hauteur maximale atteinte par la grenouille.

Au sommet de sa trajectoire, le vecteur vitesse de la grenouille s’écrira :



On en déduit de que

Enfin, déterminons la hauteur maximale atteinte par la grenouille. Pour cela, il faut calculer la valeur de ymax(tS).









2.5. La grenouille se déplace de nénuphar en nénuphar. Quelle doit être la valeur de la vitesse initiale lors du saut pour que la grenouille atteigne un nénuphar situé à 60 cm, l’angle 0 entre le vecteur vitesse et la direction horizontale étant inchangé ?

Pour déterminer la vitesse initiale de la grenouille lors du saut ce cette dernière, il faut résoudre l’équation y(x)=0 en remplaçant x par sa valeur.


















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