Professeur à l'Université des Sciences et Technologies de Lille








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juin 2, 2006 J.-P. Delahaye

Big-bang numérique
Jean-Paul Delahaye

Professeur à l'Université des Sciences et Technologies de Lille

e-mail : delahaye@lifl.fr

Laboratoire d'Informatique Fondamentale de Lille,

CNRS UMR 8022, Bât M3

59655 Villeneuve d'Ascq Cedex

Parmi les exemples élémentaires de mécanismes formels engendrant de la

complexité, celui de la suite "regarde-et-dis-le" ("look-and-say" sequence) est

tout particulièrement fascinant.

- On commence avec le nombre 1 et on lit ce qu'on voit. On voit «un "1"»

ce qu'on écrit 11, c'est le deuxième élément de la suite ;

- La lecture de 11 donne «deux "1"», ce qu'on écrit 21 ;

- La lecture de 21 donne «un "2", un "1"», ce qu'on écrit 1211 ;

- La lecture de 1211 donne « un "1", un "2", deux "1"», ce qu'on écrit

111221, etc.

1

11

21

1211

111221

312211

13112221

1113213211

31131211131221

13211311123113112211

11131221133112132113212221

3113112221232112111312211312113211

1321132132111213122112311311222113111221131221

11131221131211131231121113112221121321132132211331222113112211

Cette suite a été décrite pour la première fois par M. Hilgemeier dans un

article où il en démontrait quelques propriétés élémentaires. Cependant, c'est

le mathématicien John Conway qui a mené l'étude détaillée de cette suite et

en a élucidé la structure. Ce qu'il a trouvé est étrange et complexe.

1

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Conway propose d'utiliser le langage de la chimie et de la cosmologie. Il

imagine un monde qui, seconde après seconde, n'est que le développement

des commentaires numériques successifs du texte «1» : une sorte de Big-

bang numérique. Cette vision parménidienne du monde comme devenir de

l'Un , aurait sans doute séduit les philosophes grecques.

Parler de Big-bang n'est pas abusif car J. Conway a établi que le taux

d'augmentation moyen de cet univers est 1,30357726903... D'un terme à

l'autre, la taille de l'univers est multipliée par ce nombre qui est la solution

d'une équation de degré 71 que Conway aidé de Oliver Atkin a calculée

explicitement. Ceci veut dire que la lecture d'une suite de chiffres augmente

sa taille de 30,35 % en moyenne à chaque étape (ce résultat en réalité est

vrai quel que soit le point de départ, sauf pour «2 2» qui bien sûr reste

constant). Dans cette cosmologie arithmétique, nous savons donc

—contrairement à la cosmologie du monde physique où cette question reste

ouverte— que l'expansion ne cessera jamais.

Mais l'analogie proposée par Conway avec le monde réel est plus profonde

encore. L'univers, engendré par les commentaires numériques sur l'UN, se

décompose en éléments stables ou instables et il y a 92 éléments stables que

Conway a baptisés du nom des 92 premiers éléments de la classification

périodique des éléments chimiques de Mendeleïev (voir le tableau A).

Tableau A

Les éléments dans l'univers du big-bang numérique
01 H 22

02 He 13112221133211322112211213322112

03 Li 312211322212221121123222112

04 Be 111312211312113221133211322

112211213322112

05 B 1321132122211322212221121123222112

06 C 3113112211322112211213322112

07 N 111312212221121123222112

08 0 132112211213322112

09 F 31121123222112

10 Ne 111213322112

11 Na 123222112

12 Mg 3113322112

13 Al 1113222112

14 Si 1322112

15 P 311311222112

16 S 1113122112

17 Cl 132112

18 Ar 3112

19 K 1112

20 Ca 12

21 Sc 3113112221133112

22 Ti 11131221131112

23 V 13211312

24 Cr 31132

25 Mn 111311222112

26 Fe 13122112

27 Co 32112

2

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28 Ni 11133112

29 Cu 131112

30 Zn 312

31 Ga 13221133122211332

32 Ge 31131122211311122113222

33 As 11131221131211322113322112

34 Se 13211321222113222112

35 Br 3113112211322112

36 Kr 11131221222112

37 Rb 1321122112

38 Sr 3112112

39 Y 1112133

40 Zr 12322211331222113112211

41 Nb 1113122113322113111221131221

42 Mo 13211322211312113211

43 Tc 311322113212221

44 Ru 132211331222113112211

45 Rh 311311222113111221131221

46 Pd 111312211312113211

47 Ag 132113212221

48 Cd 3113112211

49 In 11131221

50 Sn 13211

51 Sb 3112221

52 Te 1322113312211

53 I 311311222113111221

54 Xe 11131221131211

55 Cs 13211321

56 Ba 311311

57 La 11131

58 Ce 1321133112

59 Pr 31131112

60 Nd 111312

61 Pm 132

62 Sm 311332

63 Eu 1113222

64 Gd 13221133112

65 Tb 3113112221131112

66 Dy 111312211312

67 Ho 1321132

68 Er 311311222

69 Tm 11131221133112

70 Yb 1321131112

71 Lu 311312

72 Hf 11132

73 Ta 13112221133211322112211213322113

74 W 312211322212221121123222113

75 Re 111312211312113221133211322112211

213322113

76 Os 1321132122211322212221121123222113

77 Ir 3113112211322112211213322113

78 Pt 111312212221121123222113

79 Au 132112211213322113

80 Hg 31121123222113

81 T1 111213322113

82 Pb 123222113

83 Bi 3113322113

84 Po 1113222113

85 At 1322113

86 Rn 311311222113

87 Fr 1113122113

88 Ra 132113

89 Ac 3113

90 Th 1113

91 Pa 13

92 U 3

3

juin 2, 2006 J.-P. Delahaye
Les transformations des éléments numériques les uns en les autres,

correspondent, sans être parfaitement identiques, aux transmutations

spontanées des éléments physiques les uns en les autres. Voir le tableau B.

Tableau B

H H

He Hf Pa H Ca Li

Li He

Be Ge Ca Li

B Be

C B

N C

0 N

F O

Ne F

Na Ne

Mg Pm Na

Al Mg

Si Al

P Ho Si

S P

Cl S

Ar Cl

K Ar

Ca K

Sc Ho Pa H Ca Co

Ti Sc

V Ti

Cr V

Mn Cr Si

Fe Mn

Co Fe

Ni Zn Co

Cu Ni

Zn Cu

Ga Eu Ca Ac H Ca Zn

Ge Ho Ga

As Ge Na

Se As

Br Se

Kr Br

Rb Kr

Sr Rb

Y Sr U

Zr Y H Ca Tc

Nb Er Zr

Mo Nb

Tc Mo

Ru Eu Ca Tc

Rh Ho Ru

Pd Rh

Ag Pd

Cd Ag

In Cd

Sn In

Sb Pm Sn

4

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Te Eu Ca Sb

I Ho Te

Xe I

Cs Xe

Ba Cs

La Ba

Ce La H Ca Co

Pr Ce

Nd Pr

Pm Nd

Sm Pm Ca Zn

Eu Sm

Gd Eu Ca Co

Tb Ho Gd

Dy Tb

Ho Dy

Er Ho Pm

Tm Er Ca Co

Yb Tm

Lu Yb

Hf Lu

Ta Hf Pa H Ca W

W Ta

Re Ge Ca W

Os Re

Ir Os

Pt Ir

Au Pt

Hg Au

T1 Hg

Pb T1

Bi Pm Pb

Po Bi

At Po

Rn Ho At

Fr Rn

Ra Fr

Ac Ra

Th Ac

Pa Th

U Pa
Pour bien comprendre ce que sont ces éléments stables du Big-bang

numérique, définissons d'abord ce qu'est un élément. Certains nombres N

peuvent être séparés en deux morceaux N=G.D qui dans la suite des

commentaires numériques n'interféreront plus jamais entre eux. Plus

précisément on dira que G.D est une décomposition du nombre N si pour

tout entier n le n-ème commentaire de N est obtenu en juxtaposant le n-ème

commentaire de G et le n-ème commentaire de D.

Le nombre N=1113213211 se décompose par exemple en G=11132 et

D=13211. En effet, les commentaires successifs de 11132 se termineront

tous par 2 (réfléchissez une seconde...), alors qu'aucun commentaire de

13211 ne commencera par 2 (car 13211 -> 11131221 -> 3113112211 ->

132113212221 dont le début est 13211, et donc les premières décimales

5

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recommencent de manière cyclique). Les nombres qui ne peuvent pas être

décomposés sont appelés les éléments ou atomes .

Conway a montré que parmi tous les éléments, il n'y en a que 92 qui restent

présents dans l'univers au cours de son évolution. Le Théorème chimique

est même plus précis : à partir d'un certain moment, l'univers n'est composé

que des 92 éléments (les éléments stables) et à chaque instant (pour

chaque nombre engendré à partir du 1), les 92 éléments stables sont

présents dans l'univers.

L'évolution de l'univers à partir d'un certain moment n'est donc que la

transformation des éléments stables les uns en les autres selon des règles

précises et immuables. Une sorte de bouillonnement, complexe mais

parfaitement réglé, détermine l'avenir du Big Bang numérique.

La démonstration de ce premier résultat consiste simplement en la

vérification des tableaux et en quelques raisonnements arithmétiques. Elle

ouvre cependant la porte, cette fois en utilisant des méthodes d'algèbre

matricielle (triangulation de matrice, calculs de valeurs propres et de

vecteurs propres), à la démonstration d'un second résultat. Conway l'appelle

le Théorème arithmétique et il précise les propriétés statistiques de

l'évolution des commentaires sur l'UN : la taille de l'univers augmente

exponentiellement à la vitesse V=1,30357726903... et l'abondance des

différents éléments tend vers certaines valeurs fixées non nulles.

Pour un million d'atomes, il y a par exemple en moyenne 91790 atomes

d'hydrogène, 27 d'arsenic, 102 d'uranium, 3237 d'Hélium.

L'exemple de cette suite est plus ludique que sérieux et le parallèle entre

mathématiques et physique ne doit être considéré que comme un curieux

hasard. Cependant, il s'agit ici d'un exemple remarquable montrant

comment d'une idée simplissime naît une structure mathématique complexe,

qui, dans ce cas, grâce au génie de Conway a été totalement élucidée, alors

que dans bien d'autres situations rien de tel n'est possible.

Les axiomes d'une théorie —par exemple ceux de l'arithmétique, ou ceux

de la théorie des ensembles—, qu'on peut utiliser mécaniquement pour

produire tous les théorèmes de la théorie les uns après les autres, sont un

autre exemple de procédé simple produisant dans une sorte d'explosion

symbolique colossale tout un univers complexe que rien ne laissait entrevoir

dans la définition initiale. De cela il faut retenir la leçon : la complexité

apparente du monde que nous observons n'exclut pas une origine simple,

voire très simple.

Bibliographie.


6

juin 2, 2006 J.-P. Delahaye

J. Conway. The Weird and Wonderful Chemistery of Audioactive Decay.

Dans "Open Problems in Communication and Computation" (T. Cover Ed.)

Springer-Verlag, 1987, pp.173-188.

Jean-Paul Delahaye. Jeux mathématiques et mathématiques des jeux.

Belin/Pour la scince. 1998 (le chapitre 4 donne d'autres détails sur la suite

"look-and-say").

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