Cours fabrication des machines-outils mathematiques








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Cours

FABRICATION des machines-outils MATHEMATIQUES

Par Bruno MARTIN-VALLAS

«  ils voulaient tout savoir «  
Sommaire N° page

INTRODUCTION contexte / objectif / démarche / priorités / pédagogie 2

partie I - l’ OBSERVATION élémentaire, une variable, sa mesure et sa valeur

en physique = les variables principales

I-1/ les ENSEMBLES 5

éléments / opérations / relations /

I-2/ les NOMBRES 10

nombres / opérations / N entiers / premiers / Z relatifs / Q fractions /R réels / C complexes

I-3/ les CHIFFRES, l’écriture des nombres 21

chiffres / bases / opérations / table d’addition / table de multiplication

I-4/ les VARIABLES, des valeurs dénombrables, mesures.

partie II - l’ ANALYSE, le lien, les fonctions, la relation entre plusieurs éléments variables

en physique = l’écriture des lois de la nature

II-1/ une FONCTION y = f(x) 28

une fonction / diversité des fonctions / équation / dérivée / primitive / tangente / représentation graphique / développement limité / étude d’une fonction /

II-2/ les fonctions CONTINUES , une par une , type f(x) 38

linéaire / monôme / polynôme / trigonométrie / conique / logarithme / exponentielle...

II-3/ les fonctions DISCONTINUES type f(n)

suites / séries / limites /

II-4/ les fonctions ALEATOIRES

- fonction statistique / population / fréquence / histogramme / tendance centrale / dispersion / corrélation

- probabilités, fonctions probabilistes, courbe (en cloche) de Gauss (loi des grands nombres), Bernouilli,

partie III - l’ ESPACE matériel, visible et palpable, puis élargi au temps (l’espace temps) et plus

en physique = reconnaissance des formes, distance, position, vitesse

III-1/ la GEOMETRIE 39

points / courbes / surfaces / volumes

III-2/ les MESURES géométriques

mesures / formes / théorème de Thalès / théorème de Pythagore /

III-3/ autres APPROCHES de la géométrie

géométrie analytique / géométrie descriptive / géométrie non euclidienne /

partie IV - l’ALGEBRE, les élargissements sans nombre, la diversité des représentations

en physique =les univers immatériels, psychiques, conceptuels

IV-1/ la théorie des ENSEMBLES 40

définitions / propriétés / mesure / anneaux / corps / fonctions multivariables /

IV-2/ les ESPACES VECTORIELS

fonctions multilinéaires / équations multilinéaires / matrices / déterminants /

IV-3/ la LOGIQUE 41

IV-4/ théorie des GRAPHES

Partie V - COMPLEMENTS divers

V-1/ hors programmes SCOLAIRES 42

chiffres romains / table de logarithmes / calcul d’un déterminant / degré de liberté

V-2/ VUE GLOBALE des mathématiques 47

les outils de manipulation / les choses à manipuler / vue globale des territoires mathématiques

V-3/ INDEX, table des accès directs 50

FAQ / index par mot-clé : N°page(s) où le mot est approfondi / lexique / symboles / syntaxe
Introduction
1/ CONTEXTE

J’ai donné plusieurs cours de mathématiques à des étudiants de différents niveaux, depuis les calculs de tête jusqu’aux mathématiques dites supérieures.
Pédagogiquement j’ai partout vu trop d’étudiants perdus et piègés de ne plus savoir de quoi ils parlent et dont les progrès commencaient par mieux manipuler et comprendre les bases bien avant toute récitation ou approfondissement.

Dans mon enfance, par leurs improvisations permanentes à éclairer autrement la chose enseignée, deux professeurs de physique m’ont fait sentir, et je dis bien sentir, qu’il y avait une vraie matière vivante et même tout un paysage absolument charnel, concret, palpable et en relief dans ces mondes scientifiques dont je n’apprenais les formules que pour me débarrasser de l’obligation de pouvoir les réciter et faire les exercices que l’école et mon cursus scolaire contrôlaient.

Les mathématiques sont des machines-outils conceptuelles, un territoire de concepts avec un langage pour les manipuler.

Ici le lecteur est en position non pas d’utilisateur mais de concepteur fabricant de ces machines-outils, pour reprendre à zéro (et même avant, car les romains ne connaissaient pas le zéro!) et se réinventer tout à tout endroit du programme de mathématiques :

  • en amont qualitativement « à cause de quoi » et « pour obtenir quoi » : comprendre la raison d’être, les envies à l’origine des concepts,

  • au milieu le langage, y concevoir les définitions et leurs symboles associés,

  • en aval le résultat, les machines outils, fabriquer les propriétés, formules et modalités d’utilisation.

Il s’agit de partir du pourquoi des choses, pour seulement ensuite d’en extraire les conséquences, en répondant à trois questions : d’où ça sort ? à quoi ça sert ? comment ça marche ?
Oui, il n’y a peut-être aucune demande pour cette approche, trop simple et durable dans notre univers d’exécutants aveugles et pressés.

Pourtant, ici, j’ai choisi de permettre à qui le veut de se refabriquer à tout endroit la compréhension profonde et élémentaire de n’importe quoi n’importe où en maths.
2/ OBJECTIFS

Qu’à tout endroit des mathématiques le lecteur puisse repartir d’une définition précise, sur le fond (ça sort d’où ? pour faire quoi ?) et sur la forme (ça marche comment ? définitions, symboles et syntaxe).
Comme les anciens artisans qui au début de leur apprentissage fabriquaient eux-même les outils qu’ils allaient utiliser toute leur vie dans leur métier, le but de ce cours est que l’étudiant sache, sente, comprenne, respire d’où et dans quel but ont été construit ces outils.

Pour qu’il maitrise seul de a à z toute question mathématique, non pas en l’apprenant, mais comme tout bon bricoleur en pouvant fabriquer, démonter et remonter lui-même de A à Z toute la machine-outil des CONCEPTS, DEFINITIONS, SYMBOLES, PROPRIETES et FORMULES mathématiques.
Ainsi :

  • une fois qu’il les aura tous oubliés il ne sera même pas perdu car il pourra tous les reconstruire,

  • et il pourra s’adapter à un usage nouveau dans un contexte jamais rencontré, car pouvant remonter aux origines de ses outils il pourra se reconstruire leurs conditions de validité donc d’application.


Ce cours s’adresse à tout exploitant-utilisateur, qui ne comprend pas toujours ses outils mathématiques et dont il oublie ou récite mal les recettes et formules.

Il propose la posture de concepteur fabricant des machines outils mathématiques, pour en comprendre l’origine et à partir des intentions se refabriquer les définitions, propriétés et formules.
Toute personne, même si elle a oublié ses additions ou multiplications, peut y maitriser tout endroit du programme mathématique, de la maternelle aux mathématiques supérieures, en y désossant et refabriquant les machines outils correspondantes.
Cette approche prépare aussi à une posture plus responsable dans notre quotidien professionnel et politique, de comprendre les systèmes médiatiques dans lesquels chacun vit pour les améliorer au lieu de les subir, s’y sentir dépassé, irresponsable (« les experts savent mieux ! ») et s’y plaindre (« ça me dépasse, je n’y comprend rien, c’est trop compliqué »).
3/ DEMARCHE

L’objectif de cet ouvrage est en amont, pour maitriser la conception et fabrication des machines-outils mathématiques.

Du coup l’aval est absent, l’entrainement à la manipulation de ces même machines-outils en les utilisant dans des exercices nombreux et variés est à faire dans d’autres ouvrages déjà largement disponibles.
4/ UNE PRIORITE : oubliez vos allergies aux maths et maitrisez votre SYNTAXE !

Trop d’étudiants ont pris en aversion les signes et écritures mathématiques qu’ils n’imaginent même plus pouvoir lire et comprendre, comme ils lisent le français.

Un a n’est pas un b, une clé de 12 n’est pas une clé de 14, le symbole ∪ n’est pas le symbole ∩.

Qui reproche au français d’utiliser des lettres pour être lu ?

Oui, lire un langage inclut de connaitre son alphabet et sa syntaxe !

En français, programmation C++ ou mathématiques, c’est nécessaire pour lire et écrire, comprendre et manipuler.

Rien de compliqué, pas plus de signes ou règles en mathématiques qu’ailleurs, et une particularité qui se retrouve en programmation mais pas en français : l’écriture mathématiques exige une inhabituelle et extrême précision, elle est avare de signes, ennemie des redondances et amoureuse de la sobriété.

Un tout petit signe manque et tout le sens est autre.

Chaque signe, point, virgule, position (sur la ligne, en indice, en exposant) transforme le sens.
Pourquoi ce culte de la sobriété dans l’écriture mathématique ?

Parce qu’encore en 1650 l’écriture mathématique la plus courte était :  la variable nommée « y » est égale à une constante nommée b  à laquelle on ajoute le résultat de la multiplication de la variable nommée « x » multipliée par une deuxième constante nommée « a ».

Pas facile d’y manipuler des équations !

Alors depuis peu (moins de deux siècles) on a trouvé plus pratique de l’écrire « y = ax + b »

C’est le fruit de la transformation de l’écriture mathématique dans ses signes en symboles et syntaxe :

a nouvelle habitude pour représenter une constante

x nouvelle habitude pour nommer une variable amont x, qui fait varier y en aval,

y pour représenter une variable aval y, qui dépend de x, dont la valeur se déduit de x,

= un symbole pour diminuer l’écriture du mot « égale »

ax une syntaxe de position, pour représenter la multiplication des deux valeurs car accolées

+ un autre symbole, pour représenter l’opération addition entre les valeurs qui l’encadrent,

La sobriété de l’écriture mathématique est voulue pour faciliter visualisation et manipulation en représentant le maximum avec le minimum.

Son prix est d’exiger rigueur et précision.
C’est comme la musique, une note n’est pas une autre, sinon ce n’est plus la même musique.
Bref, l’utilisateur doit connaitre et utiliser avec précision ces outils que sont la syntaxe et les signes.

… d’où à la fin les annexes LEXIQUE et SYMBOLES.
5/ CHOIX PEDAGOGIQUES

En vie étudiante comme en pratiques professionnelles, j’ai toujours détesté l’exécution seule, l’obéissance sans créativité, la récitation sans compréhension.

De saines pratiques démocratiques de liberté et responsabilité placent l’amont avant l’aval, avec en principal les deux pourquoi (à cause de quoi et pour obtenir quoi), et les comment en simples exécutants.

En plus c’est adapté aux accélérations de nos transformations mondiales, car seule la compréhension amont permet de s’adapter aux multiples cas particuliers et inattendus que crée l’incessante transformation de toutes nos pratiques conceptuelles et professionnelles.
Un objectif de la science en général et des mathématiques en particulier est de clarifier les résultats attendus et fabriquer les moyens d’y parvenir.

C’est une permanente destruction créatrice où les nouveaux outils complètent les précédents jusqu’à les annuler et remplacer.

C’est l’inverse des obligations de conformité dont se gavent nos méthodes pédagogiques dominantes.
Ce cours est l’inverse de la tristement classique méthode pédagogique très aimée des dictatures (dont celle de l’argent) : « tais-toi, apprend déjà au moins à faire, ensuite au mieux et en surplus inutile tu comprendras peut-être ! ».

Il ne s’agit pas ici de former l’étudiant à l’obéissance récitative de l’aval (les « comment faire ? »).
Ce cours détaille donc très peu les comment, qui y servent surtout d’illustrations, et sont disponibles dans tant d’autres supports familiers (programmes, annales, cours, exercices, corrigés …).

Il s’intéresse surtout aux deux pourquoi (1-le contexte, où pourquoi = à cause de quoi, ça vient d’où ?, et 2-les objectifs, où pour-quoi = pour obtenir quoi, ça veut servir à quoi ?), afin qu’à partir de cette bonne compréhension amont l’étudiant puisse retrouver seul tous les comment qui n’en sont que l’aval.
Il s’agit ici d’intéresser l’étudiant à sentir l’amont (« d’où ça vient ? », « à quoi ça sert ? »), pour :

  • lui rendre possible sa liberté de créativité,

  • l’autoriser à inventer de meilleures solutions en passant par de nouveaux chemins,

  • lui rendre plus facile de sentir et démontrer un nouveau territoire de validité de l’outil, identifier à quelles conditions il peut utiliser l’outil dans une circonstance nouvelle.


Il ne s’agit pas d’apprendre les maths mais de les comprendre.

Ensuite, une fois que l’étudiant saura de quoi il parle, alors tous les détails certes essentiels (un diviseur est non nul …) prendront leur intérêt mais seulement après la vision globale, pour la préciser et surtout pas comme trop souvent aujourd’hui pour se noyer d’abord dans un excès de détails.
J’ai privilégié les programmes institutionnels, scolaires et universitaires, et me suis arrêté aux Maths Sup en tenant compte de l’immense diversité des pratiques professionnelles : statistiques et probabilités pour les financiers et les sociologues, algèbre Booléenne et logique pour les informaticiens …
Ce livre s’adresse à toute personne de bonne volonté qui, pour diverses raisons circonstancielles (concours, examens, études, curiosité !) a besoin de quitter ses allergies aux maths et de s’y améliorer.
C’est une pioche, il ne s’agit pas de tout lire pour tout comprendre, il s’agit de

  • le parcourir pour situer ses besoins dans cet univers mathématiques global

approfondir les pages de ses besoins pour en clarifier l’amont : les deux « pourquoi ? »

partie I - l’ OBSERVATION élémentaire, la valeur d’une mesure

en physique = les variables principales

I-1/ les ENSEMBLES
1/ les ELEMENTS

Je pensais démarrer ce cours par les nombres.

Mais ce faisant j’ai réalisé que la conception et la fabrication des machines-outils commence par leurs composants, les éléments regroupés en ensembles.

Avant de compter les moutons (= leur nombre) dans un troupeau il faut déjà les concepts d’un mouton (= un élément) et d’un troupeau (= un ensemble).
épistémologie : la pensée commence par la différenciation.

exemple : Tel l’enfant qui découvre la reconnaissance des formes (maman n’est pas son chapeau, mais sa main oui !!!), le lion qui détecte sa proie, ou le berger qui garde ses moutons,

définition : tout commence par

  • l’identification de chaque élément (mouton, poule, chien…).

  • puis leur regroupement en différents ensembles : les moutons de Pierre, ses poules, ses chiens.

  • enfin la perception de l’inégalité, la comparaison, la relation d’ordre , née de (= son origine, raison d’être, finalité) : tel ensemble a-t’il plus ? moins ? ou autant d’éléments que tel autre ?

propriété : Un élément peut être un ensemble d’éléments, un sous-ensemble d’un ensemble plus grand.

Donc un élément est toujours individuel mais pas toujours indivisible.

exemple : le troupeau des moutons de Paul est un élément dans l’ensemble des troupeaux du village.
exemple :

  • des ensembles homogènes sont des groupes de chèvres, cailloux, choux, genoux, puits ou ciseaux

  • des ensembles hétéroclites (hétérogènes) sont des groupes d’éléments de types différents,

telle la macédoine russe { }, dont les types d’éléments sont : {,,, ) et dont divers sous-ensembles sont (entre autres) :

{}{}{} ;{ };{} ; {}
Exercice : Voici divers ensembles avec chacun plusieurs éléments :

{} ; {} ; {} ; {} ; {} 

Question : rangez ces ensembles du plus grand au plus petit, y en a-t-il deux égaux ?

Essayez de répondre à cette question sans utiliser ni nombre ni chiffres.

solution :

{} ; {} ; {} ; {} ; {} 

Bien sûr, par habitude, vous avez triché, anticipé, utilisé les outils du futur présent (les chiffres 3, 4, 7, 9).

Vous avez répondu à la question en passant de ces ensembles aux nombres qui dénombrent (= comptent) leurs éléments puis même utilisé des chiffres pour écrire ces nombres.

Ce faisant, dans l’histoire des mathématiques, vous avez fait un saut qui a demandé à l’humanité plusieurs centaines de millier d’années.
Ce rangement du plus petit au plus grand ensemble peut se faire sans nombre ni chiffre :

Si E{xi} et F{ yj} sont deux ensembles ayant les quantités (nombres) e et f d’éléments xi et yj.

définition : une application y = f(x) associe (=relie) à tout xi de E (= au départ) un yj de F (= à l’arrivée)

Alors, si on peut trouver une application de E vers F telle que :

cas1 : chaque xi de E arrive vers un yj différent de F, alors e est dit plus petit que f: e =< f

  • et l’application est dite injective, c'est-à-dire que deux départs (x1 et x2) différents ont toujours deux arrivées (y1 et y2) différentes : x1 ≠ x2 => y1 ≠ y2  Exemple : |{}| < |{}| 

cas2 : tous les yj de F sont atteints à partir des xi de E alors e est dit plus grand  que f : f =< e

  • et l’application est dite surjective, tous les yj de F sont arrivée d’au moins un départ xi de E, tous les yj de l’arrivée F sont atteints.  Exemple :|{}| > |{}| 

cas3 : si on peut faire les deux, relier chaque élément de E avec un élément différent de F en recouvrant tout F, alors e égal f : e = f , les deux ensembles ont autant (= le même « nombre ») d’éléments

  • alors l’application injective et surjective, qui relie ainsi les éléments de E et F, est dite bijective.

2/ OPERATIONS sur les ensembles
programme : les ensembles, les opérations (union, intersection …) sur ces ensembles (application, fonction, relation) et leurs propriétés (associativité, commutativité)


ensembles A et B

NOMBRES a et b

relation

opération

symbole

symbole

opération

relation

-----------------

A ∪ B , union



+

a + b, addition

----------------

inclusion

----------------

est contenu dans

<

----------------

a < b, plus petit

élément neutre de l’ union



(ensemble vide)

0 (zéro)

élément neutre de l’ addition
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