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8.STI2D - Antilles-Guyane, exercice 5- Énoncé originel


On étudie la charge d’un condensateur et l’on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de :

  • une source de tension continue de V ;

  • une résistance de Ω ;

  • un condensateur de capacité de F.

On note la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur. Cette tension est une fonction du temps exprimé en seconde.

La fonction est définie et dérivable sur ; elle vérifie l’équation différentielle suivante :



est la fonction dérivée de .

1) Justifier que l’équation différentielle est équivalente à :



2)

a. Déterminer la forme générale des solutions de cette équation différentielle.

b. On considère qu’à l’instant , le condensateur est déchargé. Parmi les solutions, déterminer l’unique fonction telle que .

c. Déterminer en justifiant la réponse, la limite en de la fonction ainsi obtenue. En donner une interprétation.
3) On donne ci-contre la représentation graphique de la fonction qui vient d’être obtenue à la question 2.b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l’axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l’axe des ordonnées.

On appelle le temps de charge en seconde pour que soit égal à 95 % de .

a. Déterminer graphiquement le temps de charge .

b. Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.
4) Sans modifier les valeurs respectives de et de , déterminer la valeur de afin que le temps de charge soit multiplié par 2.

Analyse didactique


Les compétences essentiellement mises en jeu dans ce sujet sont les suivantes.




1

2a

2b

2c

3a

3b

4

Chercher

X










X




X

Modéliser
















X




Représenter













X







Calculer




X

X

X




X




Raisonner



















X

Communiquer










X










La toute dernière question demande une vraie prise d’initiative, mais elle est difficile et risque de n’être que peu abordée. L’énoncé pourrait être modifié comme suit.

Variante proposée pour la formation des élèves


On étudie la charge d’un condensateur et l’on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de :

  • une source de tension continue exprimée en volt (symbole V) ;

  • une résistance exprimée en ohm (symbole Ω) ;

  • un condensateur de capacité exprimée en farad (symbole F).

On note la tension exprimée en volts aux bornes du condensateur. Cette tension est une fonction du temps , exprimé en seconde.

La fonction est définie et dérivable sur ; elle est solution de l’équation différentielle suivante :



est la fonction dérivée de .

PARTIE A

Dans cette partie, on prend , et .

1) Justifier que l’équation différentielle est équivalente à :


2)

a. Déterminer la forme générale des solutions de cette équation différentielle.

b. On considère qu’à l’instant , le condensateur est déchargé. Parmi les solutions, déterminer l’unique fonction tel que .

c. Déterminer en justifiant la réponse, la limite en de la fonction ainsi obtenue. En donner une interprétation.
3) On donne ci-contre la représentation graphique de la fonction qui vient d’être obtenue à la question 2.b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l’axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l’axe des ordonnées.

On définit le temps de charge comme étant le temps exprimé en secondes nécessaire pour que la tension soit égale à 95 % de .

a. Déterminer graphiquement le temps de charge .

b. Retrouver par le calcul le résultat précédent.

PARTIE B

On revient maintenant au cas général et on pose . La constante est la constante de temps du circuit et est exprimée en secondes. Le temps de charge est toujours défini comme à la question A.3.

On suppose toujours qu’à l’instant le condensateur est complètement déchargé. On admet que, compte tenu de cette condition initiale, la solution de l’équation différentielle est définie par :

1) Justifier l’affirmation « le temps de charge vaut trois constantes de temps ».

2) Combien faut-il de constantes de temps pour que la tension aux bornes du condensateur atteigne 99% de  ?

3) On suppose que les valeurs et sont fixes et que est variable. Comment faut-il modifier pour que le temps de charge soit doublé ?
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