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9.STI2D - Métropole 2015 (session de remplacement), exercice 4 - Enoncé originel


Un sismologue déclare en janvier 2014 : « Le risque d’un séisme majeur le long de la faille de San Andreas, en Californie, dans les vingt prochaines années est supérieur à 70 % ». On s’intéresse au temps, exprimé en années, écoulé entre deux séismes majeurs le long de cette faille en Californie. On admet que ce temps est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre .

Document 1

La faille de San Andreas, en Californie : séismes majeurs de magnitude supérieure ou égale à 5.

Ville

Année

Magnitude

Comté d’Orange

1769

6

San Diego

1800

6,5

San Francisco

1808

6

Fort Tejon

1857

8,3

Monts Santa Cruz

1865

6,5

Hayward

1868

6,9

San Francisco

1906

8,2

Santa Barbara

1925

6,3

Santa Barbara

1927

7,3

Long Beach

1933

6,3

Comté de Kern

1952

7,7

San Francisco

1957

5,3

San Fernando

1971

6,6

LomaPrieta

1989

7,1

Parkfield

2004

6,0

Los Angeles

2008

5,5

Mexicali

2010

7,2

Napa

2014

6,0

Document 2 : rappels sur la loi exponentielle

Le nombre réel est strictement positif. Une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre si sa densité de probabilité est définie sur par . L’espérance d’une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre est .

Pour illustrer la situation un élève utilise un tableur.



  1. Proposer un titre pour la cellule A2 grisée.

  2. Quelle formule a saisi l’élève dans la cellule C2 afin de compléter ce tableau jusqu’à la colonne S par « recopie automatique vers la droite » ?

  3. Calculer en années la moyenne , arrondie à près, du temps écoulé entre deux séismes majeurs le long de la faille de San Andreas en Californie.

  4. Justifier qu’une approximation du paramètre de la loi exponentielle suivie par la variable aléatoire est 0,0694.

  5. Calculer à près.

  6. L’affirmation du sismologue paraît-elle cohérente avec cette modélisation par une loi exponentielle ?

Le dernier séisme majeur a eu lieu en 2014 à Napa.

  1. Calculer la probabilité qu’il n’y ait pas d’autres séismes majeurs le long de la faille de San Andreas, en Californie, avant 2050. On arrondira à près.

  2. a. Résoudre l’équation .

b. Interpréter ce résultat.

Analyse didactique


Les compétences essentiellement mises en jeu dans ce sujet sont les suivantes :




1

2

3

4

5

6

7

8.a

8.b

Chercher

X

X






















Modéliser
















X







X

Représenter




X






















Calculer







X

X

X




X

X




Raisonner










X




X







X

Communiquer

X

























Sans être d’une grande difficulté, cet exercice laisse une bonne part à la prise d’initiative et mobilise l’ensemble des compétences attendues. Par ailleurs l'exercice, qui peut être donné en série S, est équilibré entre théorie et pratique. Il est évidemment inutile de connaitre la série des écarts pour obtenir la moyenne. En revanche l'étude pratique statistique peut, dans le cadre de la formation, ouvrir vers une discussion sur la fiabilité de la valeur du paramètre et l'adéquation du modèle.

La version suivante propose d'exploiter les données calculées. On pourrait remplacer la loi exponentielle par sa version discrétisée (mieux adaptée au contexte des données) que sont les lois géométriques.

Variante proposée pour la formation des élèves


Un sismologue déclare en janvier 2014 : « Le risque d’un séisme majeur le long de la faille de San Andreas, en Californie, dans les vingt prochaines années est supérieur à 70 % ». On s’intéresse au temps, exprimé en années, écoulé entre deux séismes majeurs le long de cette faille en Californie. On admet que ce temps est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre .

Document 1

La faille de San Andreas, en Californie : séismes majeurs de magnitude supérieure ou égale à 5.

Ville

Année

Magnitude

Comté d’Orange

1769

6

San Diego

1800

6,5

San Francisco

1808

6

Fort Tejon

1857

8,3

Monts Santa Cruz

1865

6,5

Hayward

1868

6,9

San Francisco

1906

8,2

Santa Barbara

1925

6,3

Santa Barbara

1927

7,3

Long Beach

1933

6,3

Comté de Kern

1952

7,7

San Francisco

1957

5,3

San Fernando

1971

6,6

LomaPrieta

1989

7,1

Parkfield

2004

6,0

Los Angeles

2008

5,5

Mexicali

2010

7,2

Napa

2014

6,0

Document 2 : rappels sur la loi exponentielle

Le nombre réel est strictement positif. Une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre si sa densité de probabilité est définie sur par . L’espérance d’une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre est .

Pour illustrer la situation un élève utilise un tableur pour déterminer les 17 écarts entre deux tremblements de terre successifs donnés dans le document 1.



  1. Tracer, avec un tableur, l'histogramme des fréquences en regroupant les données par classes de 5 ans.

  2. Justifier qu’une approximation du paramètre de la loi exponentielle suivie par la variable aléatoire est . Comment interpréter la formule  ?

  3. Tracer l'histogramme de la loi exponentielle en considérant des classes de 5 ans.

  4. La modélisation proposée parait-elle réaliste ? L’affirmation du sismologue parait-elle cohérente avec cette modélisation ?
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