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2.ES-L Asie, exercice 4

Énoncé originel


Soit la fonction définie sur par : .

On a tracé ci-dessous la droite , représentation graphique de la fonction dans un repère orthonormé du plan.

Le point a pour coordonnées . La partie du plan est l’intérieur au triangle .

Soit un nombre réel compris entre et ; on note le point de coordonnées ( et le point de de coordonnées ). Le but de cet exercice est de trouver la valeur de telle que le segment partage en deux parties de même aire.

Déterminer la valeur exacte de , puis une valeur approchée au centième.


Analyse didactique


Telle qu’elle est posée, cette question met en œuvre l’ensemble des compétences mathématiques, sauf peut-être la modélisation. On peut envisager de recourir au calcul intégral, mais aussi utiliser la formule de l'aire d'un trapèze (si on la connait), ou encore voir dans la figure une situation d’agrandissement, ce qui amène, avec les outils du collège, directement à . De façon à éviter de trop s’éloigner des préoccupations du programme de la série, on aurait pu envisager de prendre pour la fonction inverse, ce qui imposait le calcul intégral et le recours à la fonction logarithme.

Variante proposée pour la formation des élèves


Soit la fonction , définie sur l’intervalle par



On note la courbe représentative de la fonction .

  1. On pose



Établir que . Donner une interprétation de ce résultat en termes d’aires.


  1. On nomme la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe et les deux droites d’équations et

Soit un nombre réel compris entre et ; on note le point de coordonnées et le point de de coordonnées .

Trouver la valeur de telle que le segment partage en deux parties d’aires identiques.


Analyse didactique


L'énoncé demande la valeur de et non pas une valeur approchée. Cela suppose une certaine maitrise algébrique sur la fonction logarithme et les radicaux. Toutefois, dans le cadre d’une évaluation des compétences, toute valeur numérique approchée valide la question.
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