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Exercices pour la série S

  1. S Antilles-Guyane, exercice 3

Énoncé originel


Partie A

On note C l’ensemble des nombres complexes.

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé on a placé un point M d’affixe appartenant à C puis le point intersection du cercle de centre passant par M et du demi-axe .

    1. Exprimer l’affixe du point en fonction de .

    2. Soit le point d’affixe définie par .

Reproduire la figure sur la copie et construire le point .

Partie B

On définit la suite de nombres complexes par un premier terme appartenant à Cet, pour tout entier naturel , par la relation de récurrence . Le but de cette partie est d’étudier si le comportement à l’infini de la suite dépend du choix de .

  1. Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite quand est un nombre réel négatif ?

  2. Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite quand est un nombre réel positif ?

  3. On suppose désormais que n’est pas un nombre réel.

  1. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l’infini de la suite ?

  2. Démontrer cette conjecture, puis conclure.

Analyse didactique


Diverses compétences sont ici mises en jeu :




A1

A2

B1

B2

B3a

B3b

Chercher

X










X




Représenter




X













Calculer

X




X

X




X

Raisonner







X

X




X

Communiquer










X




X

La prise d’initiative est ici progressive, avec d’abord l’introduction, sans le nommer, du milieu à la question A2 et du questionnement sur le comportement de la suite à la question B2, sans indication de méthode. La question B3a, qui porte sur la suite des modules, va plus loin dans cette direction, d’autant que plusieurs conjectures sont possibles (soit que la suite tend vers 0, soit qu’elle est décroissante, voire qu'il s'agit d'une suite de nombres réels !). La lecture précise de l'énoncé tend à l'existence d'une limite et non pas vers les aspects qualitatifs. Il y a donc une grande prise d'initiative possible qu'il convient de canaliser en fonction de la pertinence des réponses. On ne se satisfait pas d’une affirmation juste, si elle est sans intérêt. Les mathématiques ne sont pas en dehors du bon sens !

Dans la phase de recherche, le candidat peut être tenté, à tort, de trouver une expression de en fonction de alors que l’inégalité triangulaire, éventuellement sous sa forme géométrique au sein du triangle , permet d'obtenir une majoration suffisante. C'est l'intelligence du calcul et l'adéquation des calculs à l’objectif énoncé dans la conjecture qui permet de s'en rendre compte.

La diversité des approches possibles va être mise à profit dans la version « formation » de cet exercice, proposée ci-dessous. Le texte, plus long, est conçu pour être abordé en plusieurs fois, en partie à la maison et en partie en classe.

Variante proposée pour la formation des élèves


Partie A

On propose dans le tableau ci-dessous quatre configurations géométriques créées dans le plan complexe C muni d’un repère orthonormé , où l’on a placé un point d’affixe , un point , ainsi que quatre opérations algébriques sur les nombres complexes permettant d’obtenir l’affixe du point .

Trouver la figure associée à chacune des opérations.



Figure



Opération

Fig1



Op1



Fig2



Op2



Fig3



Op3



Fig4



Op4



Partie B

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé on a placé un point d’affixe appartenant à C, puis le point intersection du cercle de centre passant par et du demi-axe (voir la figure reproduite ci-contre, et qui devra être refaite sur la feuille ou le cahier).

1) Exprimer l’affixe du point en fonction de .

2) Soit le point d’affixe définie par .

Reproduire la figure sur la feuille (ou le cahier) et construire le point avec la règle et le compas (alternative : avec un logiciel de géométrie dynamique).



Partie C

On définit la suite de nombres complexes par un premier terme appartenant à C et, pour tout entier naturel n, par la relation de récurrence .

Le but de cette partie est d’étudier la suite et tout particulièrement le comportement à l’infini de la suite , avec .

1) Que peut-on dire de la suite quand est un nombre réel négatif ?

2) Que peut-on dire de la suite quand est un nombre réel positif ?

3) On suppose désormais que n’est pas un nombre réel. On pose , et étant réels.

a. Que peut-on dire de la suite  ?

b. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l’infini de la suite ?

c. Démontrer cette conjecture.

d. Quelle conséquence en tire-t-on pour la suite  ?
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