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Quelques indications pouvant être données (ou non) :


  • Il peut être instructif de calculer quelques termes des suites étudiées au moyen de la calcula­trice, en partant par exemple de  ;

  • une figure faisant apparaître les points d’affixes peut aussi rendre service ;

  • on peut aussi s’intéresser aux arguments des nombres .

  • Pour la différenciation et en lien avec le programme de spécialité sur les suites vectorielles, on peut conclure que la suite converge vers .


3.S - Centres à l’étranger Groupe 1, exercice 3 - Énoncé quasi-originel


Soit un nombre réel fixé non nul.

Le but de cet exercice est d’étudier la suite définie par : et, pour tout entier naturel ,

. On remarquera que cette égalité peut aussi s’écrire : .
1) Soit g la fonction définie pour tout réel par : .

  1. Calculer et prouver que, pour tout réel : .

  2. Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.

  3. En remarquant que , montrer que la suite est croissante.

2) Dans cette question, on suppose que .

  1. Que dire de la suite lorsque vaut ?

  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, .

  3. Déduire des questions précédentes que la suite est convergente. On not sa limite.

  4. On admet que, lorsque la suite ( a pour limite, la suite a pour limite . En déduire la valeur de .

3) Dans cette question, on suppose que .
D’après la question 1), la suite est croissante ; on a donc pour tout entier naturel ,.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel , on a : .

  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a : .

  3. Déterminer la limite de la suite .

4) Dans cette question, on prend .

L’algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier tel que , où désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.



Variables

n est un entier, u et M sont deux réels




u prend la valeur 0,02

Initialisation

n prend la valeur 0




Saisir la valeur de M

Traitement

Tant que …




………………




Fin tant que

Sortie

Afficher n

  1. Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.

  2. À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si .


Analyse didactique


La valeur numérique proposée correspond aux limites raisonnables du calcul. Ces aspects numériques peuvent être discutés utilement en classe.

Les compétences mises en jeu dans cet exercice sont les suivantes :




1a

1b

1c

2a

2b

2c

3a

3b

3c

4a

4b

Chercher



















X







X

X

Représenter




X




























Calculer

X




X







X
















Raisonner




X

X

X

X

X

X

X

X







Communiquer










X

X







X










La prise d’initiative se réalise dans l’algorithme qui est présenté de manière assez incomplète. Par ailleurs, la dernière question, qui semble au premier abord nécessiter d’exécuter l’algorithme (en le programmant dans la calculatrice), peut être abordé de diverses manières :

  • utiliser le mode « séquence » de la calculatrice (qui fait apparaître les termes de la suite dans un tableau),

  • programmer la fonction telle que et répéter l’instruction autant de fois qu’il est nécessaire pour dépasser 60 ou pour arriver à une situation d'explosion (il faut quand même compter le nombre de répétitions, soit 36).

Variante proposée pour la formation des élèves


Soit un nombre réel fixé non nul. Le but de cet exercice est d’étudier la suite définie par :

et, pour tout entier naturel, .
1) Que peut-on dire de la suite lorsque  ?

2) Soit la fonction définie pour tout réel par : .

  1. Calculer et prouver que, pour tout réel :.

  2. Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.

  3. À l’aide de la fonction , montrer que la suite est croissante.

3) Dans cette question, on suppose que .

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , .

  2. Déduire des questions précédentes que la suite est convergente. Quelle peut être sa limite ? Conclure.

4) Dans cette question, on prend . L’algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier tel que , où désigne un réel positif (on admet, dans cette question, qu’un tel entier existe bien). Cet algorithme est incomplet.

Variables

n est un entier, u et M sont deux réels




u prend la valeur 0,02

Initialisation

n prend la valeur 0




Saisir la valeur de M

Traitement

Tant que …




………………




Fin tant que

Sortie

Afficher n

  1. Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.

  2. À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur de sortie que cet algorithme affichera si .

5) Dans cette question, on suppose que .

D'après la question 2, la suite est croissante, ce qui permet d’affirmer que, pour tout entier naturel,.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel , on a : .

  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a : .

  3. Quel est le comportement de la suite lorsque tend vers l’infini ?

  4. On revient au cas particulier .

  5. Comparer la valeur trouvée à la question 4b avec ce que peut donner la question 5b.
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