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4.S -Pondichéry, exercice 3 - Énoncé originel


Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A : étude de la durée de vie d’un appareil électroménager

Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne et d’écart-type . De plus, on a .

La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de est donnée ci-dessous.



1)

  1. En exploitant le graphique, déterminer .

  2. Quelle valeur approchée entière de peut-on proposer ?

2) On note la variable aléatoire définie par .

  1. Quelle est la loi de probabilité suivie par ?

  2. Justifier que .

  3. En déduire la valeur de, arrondie à près.

3) Dans cette question, on pose . Les probabilités demandées seront arrondies à près.

  1. Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre deux et cinq ans.

  2. Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à dix ans.

Partie B : étude de l’extension de garantie d’El’Ectro

Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.

L’entreprise El’Ectro propose à ses clients une extension de garantie de trois ans supplémentaires.

Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l’extension de garantie montrent que 11,5 % d’entre eux font jouer l’extension de garantie.

  1. On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l’extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).

    1. Quelle est la probabilité qu’exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à .

    2. Quelle est la probabilité qu’au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à .




  1. L’offre d’extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémentaires, El’Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année.


Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable.

On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l’extension de garantie, et on note la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l’entreprise El’Ectro, grâce à l’extension de garantie.

    1. Justifier que prend les valeurs 65 et -334 puis donner la loi de probabilité de .

    2. Cette offre d’extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l’entreprise ? Justifier



Analyse didactique


Diverses compétences sont ici mises en jeu :




A1a

A1b

A2a

A2b

A2c

A3a

A3b

B1a

B1b

B2a

B2b

Chercher

X

X

X






















X

Modéliser

X



















X




X

X

Calculer













X

X

X

X

X







Raisonner




X
















X










Communiquer




X

























X

La prise d’initiative est ici limitée ; on ne la rencontre que dans la dernière question où le candidat doit penser à introduire l’espérance. Par ailleurs la Partie B est complètement indépendante de la Partie A et la question 5 est indépendante de la question 4.

La simplicité de la réponse (et des outils) peut troubler les élèves. Nous proposons donc une version plus courte et sensiblement modifiée : la modélisation est basée sur un autre principe et la prise d’initiative davantage répartie.

Variante proposée pour la formation des élèves


Partie A : étude de la durée de vie d’un appareil électroménager

Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un certain type de lave-vaisselle par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre . De plus, on a mesuré .

  1. Traduire l’information relative à sous la forme d’une intégrale.

  2. Quelle est l’espérance de la variable aléatoire  ?

  3. Calculer .

Partie B : étude de l’extension de garantie d’El’Ectro

Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années. L’entreprise El’Ectro propose à ses clients une extension de garantie de trois ans supplémentaires.

L’offre d’extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémentaires, El’Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable.

Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l’extension de garantie montrent que 18 % d’entre eux font jouer l’extension de garantie.

  1. Ce taux de 18% parait-il cohérent avec le modèle et les données de la Partie A ?

  2. On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l’extension de garantie, et on note la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l’entreprise El’Ectro, grâce à l’extension de garantie. Justifier que prend les valeurs 65 et -334 puis donner la loi de probabilité de .

  3. Cette offre d’extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l’entreprise ? Justifier.

Partie C : adéquation de la modélisation

Une étude d’un magazine de consommateurs, datant de 2011, annonce que 15% des lave-vaisselles connaissent une panne au cours de la première année et 61% des lave-vaisselles connaissent une panne sur les cinq premières années.

  1. La modélisation de la loi de par une loi exponentielle parait-elle acceptable ?

  2. Déterminer une modélisation de la loi de par une loi normale en tenant compte des valeurs de l'étude mentionnée. Cette modélisation parait-elle acceptable ?

Analyse didactique


La Partie C correspond à une vraie démarche de modélisation, où il s'agit de vérifier l'adéquation d'un modèle face à des contraintes expérimentales. Dans la question 1 on trouve que la durée de vie moyenne est de 74 mois avec la première donnée et 64 mois avec la seconde donnée. C'est assez proche et on peut décider de prendre 69 mois comme durée de vie moyenne. Le modèle est raisonnablement cohérent avec les données.

Dans la seconde question, il faut écrire que suit une loi normale centrée réduite, ce qui amène à un système de deux équations à deux inconnues. On trouve environ et : la moyenne est un peu faible et l'écart-type semble bien important eu égard à la moyenne.

Le fait que les densités soient non nulles pour les durées négatives est un frein à la pertinence de cette modélisation. On utilise, dans les modélisations réelles, des densités de Weibull sous la forme

mieux adaptées à ces problématiques.

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