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5.S - Polynésie, exercice 4 - Énoncé originel


Le directeur d’un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière.



Partie A : modélisation

Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe représentant la fonction définie sur l’intervalle par , où et sont deux entiers naturels.

La courbe est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l’unité est le mètre.



  1. On souhaite que la tangente à la courbe en son point d’abscisse 1 soit horizontale. Déterminer la valeur de l’entier .

  2. On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre 3,5 et 4 mètres de haut. Déterminer la valeur de l’entier .

Partie B : un aménagement pour les visiteurs

On admet dans la suite que la fonction introduite dans la partie A est définie pour tout réel par .

Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d’exercice. Sur le devis qu’il propose, l’artiste demande un forfait de 300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.

  1. Soit la fonction définie sur par Déterminer la fonction dérivée de la fonction .

  2. Quel est le montant du devis de l’artiste ?

Partie C : une contrainte à vérifier

Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan. On considère un point de la courbe , d’abscisse différente de . On appelle l’angle aigu formé par la tangente en à et l’axe des abscisses.

La figure suivante illustre la situation.



Les contraintes imposent que l’angle soit inférieur à 55 degrés.

  1. On note la fonction dérivée de la fonction sur l’intervalle On admet que, pour tout de l’intervalle .
    Étudier les variations de la fonction sur l’intervalle

  2. Soit un réel de l’intervalle et soit le point d’abscisse de la courbe . Justifier que .

  3. Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?

Analyse didactique


Diverses compétences sont ici mises en jeu :




A1

A2

B1

B2

C1

C2

C3

Chercher

X

X







X







Modéliser




X













X

Représenter

X







X










Calculer




X

X

X

X







Raisonner
















X

X

Communiquer
















X

X

La prise d’initiative se concrétise ici sur les dernières questions des trois parties :

  • dans la partie A avec l’interprétation de la contrainte de la valeur entière,

  • dans la partie B où il faut penser à faire un lien entre l’aire de la zone à peindre, l’intégrale de et la fonction ,

  • et surtout dans la partie C où le candidat doit penser à reprendre le minimum de , prendre sa valeur absolue, puis l’arctangente et convertir en degrés.

On peut ainsi donner cet exercice presque tel quel en formation.
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