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Exercices pour la série STI2D

  1. STI2D - Métropole-La Réunion, exercice 2 - Énoncé originel


Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10-2 près.

Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d’être un conducteur de la lumière et sert dans la transmission d’un signal véhiculant des données. La puissance du signal, exprimée en milliwatts (mW), s’atténue au cours de la propagation. On note et les puissances respectives du signal à l’entrée et à la sortie d’une fibre. Pour une fibre de longueur exprimée en kilomètres (km), la relation liant , et est donnée par , où est le coefficient d’atténuation linéaire dépendant de la fibre exprimé en km-1.

Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d’atténuation différents. Dans tout l’exercice :

  • la puissance du signal à l’entrée de la fibre est 7 mW ;

  • à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d’au moins 0,08 mW ;

  • pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à 0,08 mW.

Partie A

Le premier type de fibre utilisé, de longueur 100 km, par l’entreprise a un coefficient d’atténuation linéaire . Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?

Partie B

La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction de la variable , où est la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l’entrée de la fibre. On admet que cette fonction est définie et dérivable sur l’intervalle et qu’elle est solution sur cet intervalle de l’équation différentielle .

1) Résoudre l’équation différentielle .

2)

  1. Sachant que , vérifier que la fonction est définie sur l’intervalle par

.

  1. En déduire le coefficient d’atténuation de cette fibre.

3)

    1. Étudier le sens de variation de la fonction .

    2. Déterminer la limite de la fonction en .

4)

    1. Le signal sera-t-il encore détecté au bout de km de propagation ?

    2. Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.


Analyse didactique


Les compétences essentiellement mises en jeu dans ce sujet sont les suivantes :





A

B1

B2A

B2b

B3a

B3b

B4a

B4b

Chercher

X







X

X










Modéliser






















X

Représenter

























Calculer

X

X

X







X

X

X

Raisonner

























Communiquer










X




X

X




La question A est intéressante, car tout en étant très abordable elle demande, sinon une prise d’initiative tout au moins une réelle autonomie. Il serait intéressant de savoir comment elle a été traitée et si le fait qu’elle soit la toute première question de l’exercice a pu désorienter les élèves.

Le reste de l’exercice est assez classique. Même en tenant compte de l’intérêt de tester des savoir-faire variés, l’introduction d’une équation différentielle semble malgré tout un peu artificielle et revient à introduire un second modèle alors que le modèle classique et naturel (la puissance du signal est divisée par tant toutes les unités de longueur) est proposé dans le chapeau de l’exercice.

On pourrait reprendre cet exercice en se rapprochant de ce qui est utilisé dans le monde réel :

  • Tout d’abord, c’est en général un facteur qui est utilisé comme affaiblissement maximal du signal avant amplification (de 7 mW à 0,07 mW et non 0,08 mW).

  • D’autre part, les coefficients d’atténuation sont plus souvent exprimés en décibels :


On a alors

ou encore
Le facteur est donc atteint lorsque .
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