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date de publication27.04.2017
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PUPN, 059a (2014), T. KAMBALE NZOLE et G. KAMALA MUSAVULI


MODELE SYNTHETIQUE DES FONCTIONS PERIODIQUES PAR SERIES DE FOURRIER SOUS MICROSOFT EXCEL
Tony KAMBALE NZOLE et Gamalier KAMALA MUSAVULI*
Résumé
Dans cet article, nous mettons au point un Kit d'expérimentation pour la synthèse de quelques fonctions mathématiques courantes. Tout en exploitant la théorie de Fourrier, cet outil peut servir d'aide à l'étude, la conception, la réalisation, voire la simulation des circuits électriques ou électroniques.

Summary

In this article we develop an experiment for the synthesis of some common mathematical functions Kit. While exploiting the Fourier theory, this tool can be used to assist the study, design, construction, or the simulation of electrical and electronic circuits.


  1. INTRODUCTION


Selon les théories de Fourrier, toute fonction périodique peut être considérée comme une somme d’harmoniques de fréquences 0 à .

L’expérimentation de ces théories est très souvent fastidieuse pour la plus part d’étudiants et chercheurs. De ce fait, est-t-il possible de mettre au point un modèle d’outil capable de rendre facile l’étude, la conception, la réalisation, voire la simulation des circuits électriques et électroniques ?

Les théories de Fourrier étant mathématiquement vérifiées, nous avons pris le temps de les expérimenter et vérifier de manière pratique en Microsoft Excel, version XP, l’un des outils grand public de calcul et de graphisme.

Le but poursuivi dans cet article est :

- de mettre au point de d’une forme modélisée capable de servir de Kit d’expérimentation pour les étudiants et Ingénieurs en mathématiques, en Physique, en Electricité, en Electronique, en Télécommunications et Télématique, en Informatique et Réseaux, et autres ;

- et de présenter les courbes synthétisées au moyen du Kit pour un certain nombre de fonctions courantes.

En effet, ces théories, mises en pratique, permettent :

- de calculer, synthétiser et réaliser les filtres avec facilité et précision ;

- de calculer et déterminer facilement les fréquences d’échantillonnage en numérisation pour la transmission, le traitement ou le stockage de données sous forme numérique ;

- De concevoir et réaliser des circuits électroniques générateurs de fonctions spécifiques par association de générateurs de fréquences souhaitées ;

- D’étudier le comportement de lignes et réseaux électriques vis-à-vis de multiples harmoniques.
II. LA NOTION DE SERIE DE FOURRIER [J.C.JILLE et Als, 1963 : p.75]
Selon les théories de Fourrier, toute fonction périodique f(t) de fréquence f, est la résultante ou la somme d’une infinité de fonctions sinusoïdales de fréquence 0 (composante continue), f, 2f, 3f, 4f, …, appelées harmoniques, dont celle de fréquence f est la fondamentale. En d’autres termes, toute fonction périodique peut être considérée comme une somme d’harmoniques de fréquences 0 à .
Si f(t+T)=f(t), f(t) est périodique de période T=1/f =2/ en secondes et de fréquence f=1/T = /2 en Hertz ; avec  la pulsation en radians par seconde. f(t) est alors développée en série de Fourrier comme dans la formule [1] ci-dessous :

. [1]

n est le rang de l’harmonique (la composante). Les coefficients a0, an et bn se calculent par les formules [2], [3] et [4] ci-dessous.

[2]

[3]

[4]
Exemple :
Pour la fonction f(t) = (A t) telle que f(t+T)=f(t), avec T= 1/F la période et A le facteur d’amplitude, on obtiendra les coefficients a0, an et bn par les formules d’intégration ci-dessous.







Avec le logiciel Microsoft Excel sur ordinateur, l’intégration s’obtient directement par la sommation sur une période du produit comme ci-dessous:

[5]

[6]

[7]
Les coefficients se dégradent lorsque n croît. Si on ne s’arrête qu’à 10 harmoniques, les plus significatifs d’ailleurs, et à des intervalles de temps (dt) de T/24, on observe la réalité présentée à la figure 1 ci-dessous.
Figure 1 : Illustration de la fonction périodique f(t) = t synthétisée en composant les harmoniques de Fourrier. Ici, une rampe croissante périodique.
La courbe est bien proche de la réalité. Si on tenait compte de toutes les harmoniques, tout en diminuant les tranches horaires, on s’approcherait plus de la réalité.
III. EXPERIMENTATION EN EXCEL
III.1. Principe d’Excel (Microsoft Excel 2003, version Office installée)
Le principe d’Excel qui nous a intéressé est celui permettant d’introduire les données et les formules dans la feuille de calculs, d’obtenir les résultats escomptés et de concevoir le graphique relatif à ces données. Il n’est pas nécessaire de vous présenter Excel, compte tenu de son caractère « Grand Public ». En cas de difficultés, l’Aide générale (disponible au menu), contextuelle ou interactive est à votre service.

Le KIT a été mis au point sur la version 2003 qui reste encore la plus répandue.
III.2. Expérimentation
Notre expérimentation a consisté à :
1) Se choisir la fonction périodique, son amplitude, sa fréquence et l’intervalle de temps (dt). En pratique, on choisi le minimum des angles conventionnels connus, soit 30°. Malheureusement, l’écart 45° - 30° = 15° nous oblige à descendre plus bas, c’est-à-dire à 15°, soit dt = T/24. Ce qui procure plus de finesse, de régularité et de lissage de la courbe, ainsi que de la précision dans l’intégration.

2) Introduire dans une case ciblée : la valeur de la fréquence pour la fonction et dans une autre case, celle de l’amplitude.

3) Introduire dans une première colonne, les valeurs de temps de 0 à T, par intervalles de T/24, correspondant à dt. Ainsi dt expérimental, pour nous était de T/24.

4) Introduire ensuite, dans les colonnes suivantes, respectivement f(t) et les formules de an et bn sans le signe intégral et sans dt, pour les harmoniques retenues (les plus significatifs), 10 dans notre cas ; soit : a1 et b1, a2 et b2, …, a10 et b10.

5) Recueillir au bas de chaque colonne, le produit SOMME DE LA COLONNE multipliée par T/24 ou par 1/(24.f). Ce produit est équivalent au résultat de l’intégration sur la période, avec une erreur qui est fonction de dt choisi, soit T/24 dans notre cas ; étant entendu que le dt idéal est égal à l’infini. L’erreur est néanmoins négligeable sur notre expérience et est à classer dans le même cadre que celle liée à la limitation du nombre d’harmoniques à exploiter. Chacun de ces résultats constitue le coefficient pour l’harmonique de même rang.

6) Dans les colonnes suivantes, étaler alors, d’abord le terme constant a0, puis les fonctions des harmoniques respectives.

7) Dans la dernière colonne, reprendre alors la somme des harmoniques, constituant ainsi la fonction synthétisée.

8) Elaborer enfin le graphique en nuages de points lissé, en reprenant :

- la fonction initiale ;

- les harmoniques et

- la fonction synthétisée.

9) Observer et analyser éventuellement les résultats.




IV. PRESENTATION ET DESCRIPTION DU KIT
IV.1. Présentation du KIT
Le KIT que nous avons réalisé consiste en un classeur Microsoft contenant essentiellement :

- Une première feuille (DONNEES) pour le tableau de données ;

- Une seconde feuille « GRAPHIQUE » pour le graphique.

La figure 2 présente le tableau de données du KIT dont est issu le graphique de la figure 1. Les fonctions Excel utilisées dans le KIT, en dehors de celle exprimant la fonction à synthétiser, sont listées dans le tableau 1 ci-dessous.
Tableau 1 : Fonctions Excel utilisées dans le KIT et leur signification.


No

Fonction ou Formule Excel

Localisation

Signification



=$A3*1/(24*$B$1)

Colonne B

No.(T/24) : No de trachées de temps calibrées par la valeur en $B$1



=$D$1*B3

Colonne C

Fonction initiale f(t). Ici At. Formule de calcul du coefficient A0. Voir Formules [2] et [5].



=$C3*COS(D$2*2*PI()*$B$1*$B3)

Colonnes D à V par saut de une

Formule de calcul du coefficient an. Voir Formules [3] et [6]



=$C3*SIN(E$2*2*PI()*$B$1*$B3)

Colonnes E à W par saut de une

Formule de calcul du coefficient bn. Voir Formules [4] et [7].



=SOMME(C4:C27)*$B$4

Rangée 28

Formules d’obtention de a0, an et bn par intégration. Formules [2], [3], [4], [5], [6], [7].



=$C$28*$B$1

Colonne X

Terme Constat de la série de Fourrier. Voir Formule [1]



=2*$B$1*(D$28*COS(Y$2*2*PI()*$B$1*$B3)+E$28*SIN (Y$2*2*PI()*$B$1*$B3))

Colonnes Y à AQ par saut d’une.

Harmoniques sinusoïdales et cosinusoïdales retenues.

Voir Formule [1].



=SOMME(X3:AQ3)

Colonne AS

Fonction synthétisée F(t). . Voir Formule [1].



Figure 2 (a) : Présentation du tableau de données du KIT pour la figure 1 : début du calcul des coefficients an et bn pour les différentes harmoniques
Figure 2 (b) : Présentation du tableau de données du KIT pour la figure 1 : suite et fin du calcul des coefficients an et bn pour les différentes harmoniques.
Figure 2 (c) : Présentation du tableau de données du KIT pour la figure 1 : harmoniques
IV.2. Description du KIT
IV.2.1. Le tableau des données
Le tableau des données du KIT comprend les éléments tels que décrits ci-dessous.

1. En case B1 : la fréquence F de notre fonction. Elle a un effet sur les valeurs de la fonction et non sur l’allure de la courbe.

2. En case D1 : le facteur amplificateur A de la fonction. Il a aussi seulement un effet sur les valeurs de la fonction et non sur l’allure de la courbe.

3. En colonne A : Des numérotations des tranches horaires. Ils ont un effet sur la chronologie horaire de la colonne B et ne doivent pas être bougés.

4. En colonne B : Les tranches horaires régulières (dt) sur une période. La formule y reprise est à la fois fonction de la colonne A et de la fréquence en B1.

5. En colonne C : la fonction originale f(t) et en bas, le coefficient a0. L’idéale est de mettre la formule de la fonction en tenant compte du facteur amplificateur A. Mais si les points respectifs de la courbe sont connus pour les valeurs successives de t multiples de T/24, on peut aussi placer directement les valeurs.

6. En colonnes de D à W : les fonctions de calcul de 20 coefficients pour les 10 premières harmoniques retenues.

7. Sur la rangée 28 pour ces colonnes D à W: Les coefficients respectifs a0, a1 et b1 à a10 et b10, obtenus conformément aux formules [5], [6] et [7] pour n = 0 (terme constant a0) et n allant de 1 à 10 pour les 10 harmoniques.

8. La colonne X : reprend le terme constat a0.

9. Les colonnes Y à AQ reprennent les fonctions des 10 premières harmoniques. Les colonnes en intervalle ont été sciemment sautées pour la régularité des formules.

10. Les valeurs numériques de la rangée 2 sont celles de n, rang de l’harmonique.

11. La colonne AS reprend la fonction synthétisée à partir des 10 harmoniques.

12. Toutes les autres indications sont simplement indicatives.




IV.2.2. Le Graphique
Avec l’échelle et la légende, le graphique ne demande pas autre explication ; à la seule différence que les abscisses sont numéraires (0 à 25), en relation avec les 24 tranches horaires de la colonne A, au lieu d’être horaires (colonne 2). Cette graduation ne change en rien l’allure de la courbe.
V. Utilisation du KIT
Pour faciliter l’utilisation du KIT, nous avons coloré en jaune les zones à modifier pour changer de fonction.

Pour chaque nouvelle fonction à synthétiser, il faut mettre la formule de la fonction en tenant compte du facteur amplificateur A. Mais si les points respectifs de la courbe sont connus pour les valeurs successives de t multiples de T/24, on peut aussi placer directement les valeurs.
VI. Courbes synthétisée au moyen du KIT
Sur les figures qui suivent, nous présentons les résultats de l’utilisation de notre KIT pour différentes fonctions que nous avons ciblées. Pour chaque fonction, vous pouvez observer conjointement sur le même graphique :

- la fonction initiale ;

- les harmoniques et

- la fonction synthétisée.

Figure 3 : Ligne droite horizontale. Elle est obtenue par adjonction de segments égaux de longueur égale à la période comme celui-ci.
Figure 4 : Signal rectangulaire alternatif.

Figure 5 : Signal rectangulaire positif ou impulsion de largeur non nulle.

Figure 6 : Signal triangulaire.

Figure 7 : Signal trapézoïdal alternatif.

Figure 8 : Rampe décroissante périodique.

Figure 9 : Signal sinusoïdal pur.
VII. OBSERVATIONS
Les courbes se rapprochent de la réalité. Les erreurs observées sont essentiellement dues :

  • A la limitation du nombre d’harmoniques qui est de dix au lieu d’être infinie ;

  • A la valeur trop grossière de dt qui est de T/24 au lieu de tendre vers zéro.

Pour délocaliser la courbe et la déplacer sur les ordonnées, il suffit de faire :

f’(t) = f(t) – f0 ,

Cela a un effet direct sur le terme a0.

Pour la déplacer sur les abscisses, il suffit de faire :

f’(t) = f(t - t0).
Il s’agit ici d’un déphasage. En conséquence, une introduction conjointe de f0 et de t0 aura le double effet. Les meilleures courbes synthétisées sont celles des fonctions constantes et sinusoïdales.
CONCLUSION
Ce Kit expérimental Excel permet de synthétiser une fonction périodique à partir de ses dix premières harmoniques : les plus significatifs. Il a été mis au point sur la version Microsoft Excel 2003 qui reste encore la plus répandue. La courbe synthétisée est bien proche de la réalité. Si on tenait compte de plus d’harmoniques, tout en diminuant les tranches horaires, on s’approcherait plus de la réalité.

Le KIT comprend :

- Une première feuille (DONNEES) pour le tableau de données ;

- Une seconde feuille « GRAPHIQUE » pour le graphique.
Pour l’utiliser, introduire dans une case ciblée : la valeur de la fréquence pour la fonction et dans une autre case, celle de l’amplitude. Pour chaque nouvelle fonction à synthétiser, il faut mettre la formule de la fonction dans la colonne f(t) (la colonne C) en tenant compte du facteur amplificateur A. Mais si les points respectifs de la courbe sont connus pour les valeurs successives de t multiples de T/24, on peut aussi placer directement les valeurs. Pour faciliter cette utilisation du KIT, nous avons coloré en jaune les zones à modifier pour changer de fonction.

Pour délocaliser la courbe et la déplacer sur les ordonnées, il suffit de faire f’(t) = f(t) – f0, cela un effet direct sur le terme a0. Pour la déplacer sur les abscisses, il suffit de faire : f’(t) = f(t - t0). Il s’agit ici d’un déphasage. En conséquence, une introduction conjointe de f0 et de t0 aura le double effet.

Excel n’est pas le seul outil, encore moins le meilleur, mais notre Kit paraît plus pédagogique et plus facile pour les utilisateurs en ce sens que chacun peut suivre et comprendre toutes les étapes de la démarche.
BIBLIOGRAPHIE.
1. J.C.JILLE et Als, 1963 ; Théories et Calcul des asservissements, Dunod, p.75.
2. Microsoft Excel 2003, version Office installée.


** Assistants ISTA/Ndolo, Kinshasa, R.D.Congo.



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