Le livre de la nature est écrit dans un langage mathématique








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The essence of mathematics resides in its freedom / Le livre de la nature est écrit dans un langage mathématique
--- Georg Cantor     --- Galilée             









Sujet proposé par Théo Héikay

« Il n’y a pas de choses simples, mais il y a une manière simple de voir les choses. »

INTRODUCTION
Y a-t-il de la vie ailleurs ? Dans ce système solaire, à part la Terre, cela semble peu probable, et en tout cas inobservé. Et plus loin ? Il faudrait qu’il y ait des planètes autour d’étoiles proches du Soleil, si possible, pour qu’on ait une chance de les étudier un jour. Car observer un objet de cette nature, tout près d’un objet si brillant qu’il le dissimule dans ses feux, et si loin cependant que cette planète en est encore plus indiscernable, a tenu pour longtemps de la vraie gageure. Une voie indirecte a alors été suivie : un compagnon peut, en orbitant autour d’une étoile, créer de très légers effets cinématiques sur celles-ci se manifestant dans des décalages Doppler du rayonnement stellaire pouvant être mis en évidence par une optique spectrophotométrique de très grande précision.

1995 a vu cette entreprise couronnée pour la première fois de succès, initialisant désormais une quête fructueuse puisqu’à l’heure actuelle + de 100 planètes extrasolaires ont été ainsi (indirectement) observées.
PRÉREQUIS

Les notions nécessaires, comme la magnitude, le corps noir, la vitesse d’évasion ou la vitesse thermique sont apportées dans le problème.
ÉNONCÉ

À l’automne 1995, des astronomes suisses ont découvert des variations périodiques dans les vitesses radiales de l’étoile m Pegasi, très comparable au Soleil, de magnitude visible apparente 6,18 et située à 44,7 années-lumière de nous. Ces résultats ont été attribués à la présence, autour de l’étoile, d’une planète dont la période orbitale serait de 4,23 jours, et dont la masse serait comparable à celle de Jupiter.

I _ Rappels sur des définitions astronomiques


  1. L’année lumière (al) est la distance parcourue par la lumière en un an.

Donner la valeur de al (c = 3.108 m.s– 1).

Le parsec (pc) est la distance d’une étoile d’où on verrait le rayon de l’orbite terrestre (UA) sous un angle de 1’’.

Donner la valeur du parsec (UA = 1,496.1011 m). Donner la relation numérique entre pc et al.

  1. La notion de magnitude remonte à l’antiquité, quand Hipparque établissait le premier catalogue d’étoiles en inventant la notion de grandeur, nombre entier, d’autant plus élevée que l’étoile est faible, l’étoile la plus brillante étant de grandeur 1.

De façon moderne, la magnitude apparente d’une étoile est liée à son éclairement (flux de puissance observé) par la relation

m = – 2,5 log E + cste

Plus précisément, il faut spécifier le domaine de rayonnement observé, la constante étant fixée selon une source établie.

Pour une observation dans le domaine visible,

mV = – 2,5 log E – 14,2

II _ Propriétés de m Pegasi
On appelle magnitude absolue m la magnitude apparente qu’aurait l’étoile si elle était placée à une distance de 10 pc. L’intérêt de cette notion est qu’elle permet de comparer les luminosités intrinsèques des étoiles puisqu’elles sont placées ainsi artificiellement à la même distance.


  1. Calculer la magnitude absolue MV(©) du Soleil (L © = 3,86. 1026 W).

  2. Donner la relation entre magnitude apparente et magnitude absolue. On appelle m – M le « module de distance ». Pourquoi ?

  3. Calculer MV pour M. Le résultat est-il plausible pour une étoile semblable au Soleil ? On appréciera la rapport des luminosités du Soleil et de M Pegasi.


III _ Propriétés de la planète extrasolaire


  1. En utilisant la 3e loi de Kepler (a3/T2 = GM/42) calculer, en UA, la distance approximative de la planète à son étoile. La comparer avec celles du système solaire (M© = 2.1030 kg). Commenter.

  2. On suppose que la planète se comporte comme un corps noir (elle émet par unité de surface une puissance T4,  = 5,67.10– 8 SI) sphérique de rayon R. Son albédo (rapport de la puissance réfléchie à la puissance incidente) est .

Si L est la luminosité de l’étoile, donner l’expression de T en fonction de , L et R, en partant de l’équilibre énergétique de la planète.

Estimer la température de surface de la planète supposée semblable à Jupiter ( = 0,34).

  1. Démontrer que la vitesse de libération v à la surface d’une planète de masse M et de rayon R est

v1 = 

Démontrer que la masse moyenne d’agitation thermique d’une particule de masse m d’un gaz de température T est

vt = 

Discuter l’existence possible d’une atmosphère à la surface de la planète.

(Masse de Jupiter M = 1,9.1027 kg, rayon de Jupiter R = 71 300 km, masse de l’atome d’hydrogène m = 1,67.10– 27 kg).


CORRECTION DE L’AUTEUR
I _ a) La durée de l’année (365,25 j de 86 400 s chacun) est 1 a = 3,16. 107 s d’où
al = cT = 3,16.107 = 9,48.1015 m
D’après la définition du persec 1’’ = soit

d =  = 3,086.1016 m

d’où pc = 3,26 al.

II _ a) La luminosité du Soleil L © donne, à une distance d, un éclairement

EV =

(4d² est la surface de rayon d).

La magnitude absolue est calculée d’après l’éclat à d = 10pc d’où

MV(©) = – 2,5 log – 14,2
A.N. On trouve MV(©) ~ 4,5.


  1. Si pour une étoile donnée de luminosité L, E est l’éclat à la distance d, et E10 l’éclat à la distance de 10 parsec, on a L = 4d²E = 4(10pc)²E10

Soit

=  ²

si d est mesurée en pc. Par ailleurs
m = – 2,5 log E + cste

M = – 2,5 log E10 + cste
d’où

m – M = – 2,5 log = – 5 log

d’où m – M = 5 log d – 5 module de distance.

m – m mérite son nom parce qu’il n’est fonction que de la distance, et qu’inversement sa connaissance permet d’atteindre la distance.

  1. Pour M Pegasi, MV = mV + 5 – 5 log d soit

MV = 6,18 + 5 – 5 log ~ 5,5

Cette valeur est proche de celle du Soleil, ce qui confirme que M Pegasi est bien une étoile de type solaire.
MV (©) – MV (Pegasi) = 4,5 – 5,5 = 1 = – 2,5 log

d’où
= 100,4 ~ 2,5

qui est le rapport des luminosités.


III _ a) La masse de M Pegasi doit être comparable à celle du Soleil ce qui n’a pas une grande incidence car

a =  1/3

varie peu avec M. On sait, d’après la trajectoire de la Terre que

UA = 1/3

d’où

= 2/3 ~ 0,05

Cette planète, de nature géante, est extrêmement proche de l’étoile. Ce n’est pas sans poser un problème sur la compréhension des systèmes planétaires car, dans le mécanisme de formation adopté actuellement pour le système solaire, les planètes géantes sont à grande distance du Soleil.
b) La planète reçoit de l’étoile et par unité de surface perpendiculaire au rayonnement une puissance . La puissance absorbée est donc

(1 – )L ´

À l’équilibre énergétique

(1 – )L ´ = 4R²T4

d’où

T = 1/4

A.N. L ~ 0, 4 L © ~ 1,5.1026 W. m– 1 ; d ~ 0,05 ´ 1,496 ; 1011 = 7,5.109 m ;  = 0,34 .
D’où T ~ 1250 K qui est une température de surface très élevée pour une planète.
c) L’énergie totale d’un corps de masse m, de vitesse v, situé à une distance r du centre d’un objet attractif massif de masse M >> m, est

E = mv² –
On obtient v = v1 pour E = 0 (l’objet de masse m peut aller jusqu’à l’infini avec une vitesse nulle) d’où pour la planète de masse m et de rayon R,

v1 = 

Pour un gaz en équilibre à la température T, le théorème de l’équipartition de l’énergie donne kT par degré de liberté.

Pour l’énergie cinétique de translation, il y a 3 degrés de liberté d’où

mvt2 = 3 ´ kT
soit
vt = 

Pour la planète extrasolaire assimilée à Jupiter, R = 7,13.107 m, M = 1,9.1027 kg soit
v1 ~ 60 Km. S– 1
Pour un gaz d’hydrogène (m = 1,67. 10– 27 kg) à la température de 1 250 K,
vt ~ 5, 6 km. S– 1
L’hydrogène qui est le gaz le plus léger et donc a de plus de facilité à s’échapper à cependant une vitesse moyenne d’agitation thermique nettement inférieure à la vitesse de libération de la planète extrasolaire. L’existence d’une atmosphère sur cette planète est donc plausible.

Sujet proposé par Théo Héikay
«  J’aime les vieilles questions.

Ah ! Les vieilles questions, les vieilles réponses, il n’y a que ça ! »


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